曲阜師范大學統計學院, 2021級數學與應用數學專業5-6班.

上課時間地點: 2-18周, 周二1-2節數學樓201，周四1-2節數學樓201.

教材: 實變函數與泛函分析基礎(第四版), 程其襄張奠宙胡善文薛以鋒編, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040508109.

習題例題講解

參考資料：

【1】實變函數與泛函分析基礎(第四版)學習指導與習題解答, 胡善文薛以鋒編, 高等教育出版社, 2021, ISBN: 9787040556582.

【2】實變函數（第二版）, 胡適耕編著, 高等教育出版社, 2014, ISBN: 9787040398878.

【3】 Analysis III, Herbert Amann, Joachim Esche. 世圖影印本.

【4】 Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd ed.), Gerald B. Folland. 世圖影印本.

【5】 Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces, Elias M. Stein, Rami Shakarchi. 世圖影印本.

作業

第2周
 第3周
 第4周
 第5周
 第6周
 第7周
 第8周
 第9周
 第10周
 第13周
 第14周
 第15周
 第16周
 第17周

第2周

書面作業

[解答] 設$\{f_n\}$是定義在集合$E$上的函數列, 證明:對$\forall c\in \Bbb{R}$, 有
(1) $$E\left[\varlimsup_{n\to \infty}f_n <c \right]=\bigcup_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty E\left[f_n<c-\frac{1}{k}\right];$$
(2) $$E\left[\varliminf_{n\to \infty}f_n >c \right]=\bigcup_{k=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{n=N}^\infty E\left[f_n>c+\frac{1}{k}\right].$$
[解答] 設$f$和$g$均為定義在集合$E$上的函數, 證明:

\[E[f>g]=\bigcup_{r\in \Bbb{Q}}\left(E[f>r]\cap E[g<r] \right). \]

[解答] 設$\{E_n\}$是一個集列, 并且

\[A\subset E_n \subset B,\quad \forall n\in \Bbb{N}_+. \]

證明:　

\[A\subset \varliminf_{n\to \infty}E_n \subset \varlimsup_{n\to \infty}E_n \subset B. \]

[解答] 證明:

\[(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D),\\ (A\times B)\setminus (C\times D)=((A\setminus C)\times B) \cup (A\times (B\setminus D)).\]

非書面作業
做完第1章課后習題Ex1-Ex12.

第3周

書面作業

[解答] 設$X$和$Y$是兩個集合, $f:X\to Y$是映射.
(1) 若$A,B\subset Y$, 證明:

\[f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B),\\ f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B).\]
(2) 若$E,F\subset X$, 證明:
$$ f(E\cup F)=f(E)\cup (F),\
f(E\cap F)\subset f(E)\cap f(F).$$

(3) 舉例說明, 當$E,F\subset X$時, 不一定成立
$$f(E\cap F)= f(E)\cap f(F).$$
(提示：考慮$f(1)=f(2)=1, f(3)=2$, 據此選取合適的$E,F$. )
[解答] 設$X$和$Y$是兩個集合, $f:X\to Y$是映射, $A\subset X$, $B\subset Y$. 證明：
(1) $A\subset f^{-1}(f(A))$;
(2) $f(f^{-1}(B))\subset B$;
(3) 對任何$A\subset X$, 都成立$A=f^{-1}(f(A))$的充要條件是$f$為單射;
(4) 對任何$B\subset Y$, 都成立$f(f^{-1}(B))= B$的充要條件是$f$為滿射.

非書面作業
做完第1章課后習題Ex13-Ex20 (不要求做Ex18).

第4周

書面作業

[解答] 設$F_1$是$\Bbb{R}^p$中的閉集, $G_1$是$\Bbb{R}^p$中的開集; $F_2$是$\Bbb{R}^q$中的閉集, $G_2$是$\Bbb{R}^q$中的開集. 證明: $F_1\times F_2$, $G_1\times G_2$分別是$\Bbb{R}^{p+q}$中的閉集, 開集.
[解答] 設$(X,\rho)$為度量空間, $A$為$X$中的緊集, $x_0\in X$. 證明:
(1) 存在$y_0\in A$, 使得

\[d(x_0,A)=\rho(x_0,y_0); \]
(2) 若$B$為$X$中的閉集, 并且$A\cap B=\emptyset$, 則

\[d(A,B)>0. \]

非書面作業

做完第2章全部課后習題.

第5周

書面作業

[解答] 設$(X,\rho)$為度量空間, $K_1$和$K_2$是$X$中不相交的緊集. 若函數$f$分別在$K_1$和$K_2$上連續, 則$f$也在$K=K_1\cup K_2$上也連續.

(提示: 1. 任取$x_0\in K$, 利用定義證明$f$在點$x_0$關于$K$連續; 2. 利用上周作業題第2題的結論說明, 當$\delta>0$足夠小時, $U(x_0;\delta)\cap K$實際上就是$U(x_0;\delta)\cap K_1$或$U(x_0;\delta)\cap K_2$.)

[解答] 設$f$是定義在閉區間$[a,b]$上的有界函數, 點$x_0\in [a,b]$. 對任意$\delta>0$, 令

\[I_\delta =U(x_0;\delta) \cap [a,b], \]

\[\omega_\delta(f,x_0)=\sup_{x\in I_\delta}f(x)-\inf_{x\in I_\delta} f(x)=\sup_{x,x'\in I_\delta}|f(x)-f(x')|, \]

則稱

\[\omega(f,x_0)=\lim_{\delta\to 0^+} \omega_\delta(f,x_0) \]

為$f$在點$x_0$處的振幅. 證明: $x_0$是$f$的連續點的充要條件為

\[\omega(f,x_0)=0. \]

非書面作業

預習教材后半泛函分析部分的7.2-7.3節內容.

第6周

書面作業

[解答] 設$X$為非空集合, 非空集族$\Bbb{M}\subset 2^X$. 證明: $\Bbb{M}$是$\sigma$-代數的充要條件為$\Bbb{M}$對集合的補集運算、有限并運算和可數不交并運算封閉, 即
(i) 若$E\in \Bbb{M}$, 則$E^c\in \Bbb{M}$;
(ii) 若$E_1$, $E_2$, $\cdots$, $E_N\in \Bbb{M}$, 則$\bigcup\limits_{n=1}^N E_n\in\Bbb{M}$;
(iii) 若集列$E_n\in \Bbb{M}$, $n\in \Bbb{N}_+$互不相交, 則$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} E_n\in \Bbb{M}$.

(提示: 必要性顯然成立, 只證明充分性即可, 嘗試利用集列的不交分解技巧.)

[解答] 由$\Bbb{R}^n$中的所有開集生成的$\sigma$-代數成為$\Bbb{R}^n$上的Borel代數, 記為$\Bbb{B}(\Bbb{R}^n)$. 設$\tau_1$是$\Bbb{R}$中的所有有界開區間的集合, $\tau_2$是$\Bbb{R}^n$中所有左開右閉區間的集合, 證明:
\[\Bbb{B}(\Bbb{R})=\sigma(\tau_1), \quad \Bbb{B}(\Bbb{R}^n)=\sigma(\tau_2). \]

(提示: 若$\sigma$-代數$\Bbb{A}$包含$\Bbb{R}$中所有開集, 則$\Bbb{A}$顯然也包含$\tau_1$; 再利用開集的構造定理證明, 若$\sigma$-代數$\Bbb{A}$包含$\tau_1$, 則$\Bbb{A}$也包含$\Bbb{R}$中所有開集; 最后根據“生成的$\sigma$-代數”的定義證明第一個等式成立. 按照類似的步驟證明第二個等式也成立.)

非書面作業

做完第3章習題Ex11，Ex12, Ex13, Ex14.

第7周

書面作業

[解答] 設$\Bbb{I}(n)$為$\Bbb{R}^n$中全體$n$維開區間構成的集族, $\Bbb{I}_l(n)$為$\Bbb{R}^n$中全體$n$維左開右閉區間構成的集族. 設
\[a=(a_1,\cdots,a_n)\in \Bbb{R}^n,\quad b=(b_1,\cdots,b_n)\in \Bbb{R}^n; \quad a_i<b_i,\quad \forall i=1,2\cdots,n. \]

規定開區間$(a,b)$和左開右閉區間$(a,b]$的體積均為

\[V_n(a,b)=V_n(a,b]=\prod_{i=1}^n (b_i-a_i). \]

特別地, 規定$\Bbb{I}(n)$和$\Bbb{I}_l(n)$中都存在空集$\emptyset$, 空集的體積$V_n(\emptyset)=0$. 證明: 對任何集合$E\subset \Bbb{R}^n$, 都成立$m^*(E)=\lambda^*(E)$, 其中

\[\begin{aligned} m^*(E)=&\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty V_n(I_j) \mid I_j\in \Bbb{I}(n),\,j\in \Bbb{N}_+\text{并且}E\subset \cup_{j=1}^\infty I_j \right\},\\ \lambda^*(E)=&\inf\left\{\sum_{k=1}^\infty V_n(J_k) \mid J_k\in \Bbb{I}_l(n),\,k\in \Bbb{N}_+\text{并且}E\subset \cup_{k=1}^\infty J_k \right\}. \end{aligned}\]

(提示：以$n=1$的情形為例. 任何開區間$(a,b)$, 在保持“體積”不變的情況下可以轉化為左開右閉區間$(a,b]$, 據此推出任何開覆蓋在保持體積和不變的情況下可轉化為左開右閉覆蓋, 最終結合集合包含關系與下確界的關系就可以推出$m^*(E)\geq \lambda^*(E)$; 反過來, 任取$\varepsilon>0$, 對于左開右閉區間$(a,b]$, 稍加擴大后可轉化為開區間$(a, b+\varepsilon(b-a))$, 計算并觀察這兩個區間的體積有何聯系，據此考察任意可數開覆蓋中每個開區間經上述轉化后所得的可數左開右閉覆蓋的體積和與原先的可數開覆蓋體積和的關系, 最終證得$m^*(E)\leq \lambda^*(E)$)

[解答] 設$\Bbb{I}(1)$是實數軸$\Bbb{R}$中全體開區間構成的集族, 并規定$\emptyset \in \Bbb{I}(1)$. 設$\alpha:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$是一個遞增函數, 并且在$\Bbb{R}$上任一點都右連續. 對于開區間$(a,b)\in \Bbb{I}(1)$, 規定

\[\lambda_\alpha(a,b)=\alpha(b)-\alpha(a), \]

并且規定$\lambda_\alpha(\emptyset)=0$. 對任何$E\subset \Bbb{R}$, 定義

\[m_{\alpha}^*(E)=\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty \lambda_\alpha(I_j) \mid I_j\in \Bbb{I}(1),\,j\in \Bbb{N}_+\text{并且}E\subset \cup_{j=1}^\infty I_j \right\}, \]

則$m^*_{\alpha}$是$\Bbb{R}$上的外測度. 證明: 對任何左開右閉區間$(a,b]$, 都成立

\[m^*_{\alpha}((a,b])= \alpha(b)-\alpha(a). \]

(提示：參考教材6.6節的定理的證明)

非書面作業

做完第3章習題Ex1-Ex7, Ex9.

第8周

書面作業

[解答] 設$A$是$\Bbb{R}^p$中的Lebesgue可測集, $B$是$\Bbb{R}^q$中的Lebesgue可測集, 證明:
(1) $A\times B$是$\Bbb{R}^{p+q}$中的Lebesgue可測集;
(2) 若$m(A)=0$或者$m(B)=0$, 則$m(A\times B)=0$.

非書面作業

做完第3章剩余的習題: Ex8, Ex10, Ex15-Ex17.
復習數學分析中的上下極限的內容：數學分析教材上冊2.3-Ex12, 7.2節全部內容.
閱讀《Lebesgue積分的產生及其影響》.

第9周

書面作業

[解答] 設$(X,\Bbb{M})$為可測空間, $E\in \Bbb{M}$, $f:E\to \overline{\Bbb{R}}$是定義在$E$上的實值函數. 證明以下論斷等價:
(1) $f\in M(E)$;
(2) 對于$\Bbb{R}$中任何開集$U$, 都有$f^{-1}(U)\in \Bbb{M}$, $E[f=+\infty]\in \Bbb{M}$;
(3) 對于$\Bbb{R}$中任何Borel集$B$, 都有$f^{-1}(B)\in \Bbb{M}$, $E[f=+\infty]\in \Bbb{M}$.

(提示: 利用實數集$R$中的開集的構造定理以及4.1節講義的定理2, 結合$\sigma$-代數對某些集合運算的封閉性. 證明(2)推(3)時, 先利用原像集的一些性質證明以下結論: $\Bbb{R}$中所有滿足$f^{-1}(F)\in \Bbb{M}$的集合$F$構成的集族$\Bbb{A}$是$\Bbb{R}$上的一個$\sigma$-代數.)

非書面作業

做完教材第4章習題Ex1-Ex8.

第10周

書面作業

[解答]設$f$在$[a,b]$上有界. 對任意$n\in \Bbb{N}_+$, 對$[a,b]$作對應的分割
\[T_n: a=x_0^n<x^n_1<\cdots <x^n_{k(n)}=b. \]

令

\[\begin{aligned} M_i^n&=\sup \{f(x)\mid x_{i-1}^n \leq x\leq x_i^n \},\\ m_i^n&=\inf \{f(x)\mid x_{i-1}^n \leq x\leq x_i^n \}, \quad i=1,2,\cdots, k(n), \end{aligned} \]

并定義非負簡單函數列

\[h_n(x)= \begin{cases} M_i^n-m_i^n,&\text{若}x\in (x^n_{i-1},x^n_i),\\ 0,&\text{若}x\text{是}T_n\text{中的分點}, \end{cases} \quad n\in \Bbb{N}_+. \]

證明: 若$\lim\limits_{n\to \infty}\|T_n\|=0$, 則

\[h_n(x)\to \omega (f,x),\quad \text{a.e. } x\in [a,b], \]

其中$\omega (f,x)$是函數$f$在點$x$處的振幅.

(提示：1. 振幅$\omega (f,x)$的內容見Ch2-補充題3; 2. 本題是為了證明教材5.5節的內容做準備.)

非書面作業

做完教材第4章剩余習題.

第13周

書面作業

[解答] 設$(X,\Bbb{M},\mu)$為測度空間, $E\in \Bbb{M}$并且$\mu(E)<+\infty$, $f\in M^+(E)$并且$f$在$E$上a.e.有限. 對$[0,+\infty)$做分割

\[T:0=y_ 0<y_1<y_2<\cdots<y_{n-1}<y_{n}<\cdots \to +\infty, \]

其中

\[\|T\|=\sup_{n\in\Bbb{N}_+}(y_n-y_{n-1})<+\infty. \]

令

\[E_n=E[y_{n-1}\leq f<y_n],\quad n\in \Bbb{N}_+, \]

證明: $f\in L(E)$的充要條件是

\[\sum_{n=1}^\infty y_n \mu(E_n)<+\infty, \]

特別地, 當$f\in L(E)$時, 還成立

\[\int_E f {\rm d}\mu =\lim_{\|T\|\to 0}\sum_{n=1}^\infty y_n \mu(E_n)<+\infty. \]

(提示：這道題就是要證明我們講的Lebesgue積分定義與早期的Lebesgue積分定義（教材68頁）是一致的. 證明可參考習題Ch5-Ex3的證明方法.)

非書面作業

第五章習題Ex1-Ex3, Ex5-Ex6, Ex8-Ex9, Ex15, Ex17, Ex21-Ex23, Ex27-Ex30.

第14周

書面作業

[解答] 應用積分的收斂性定理(Levi定理、Fatou引理、Lebesgue控制收斂、逐項積分或逐項求導定理及其推論等)計算以下問題：

(1)

\[\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x-1} {\rm d}x; \]

(2)

\[\lim_{n\to \infty} \int_0^{+\infty} e^{-x}\cos x \frac{\ln (n+x)}{n} {\rm d}x; \]

(3)

\[\lim_{n\to \infty} \int_0^{+\infty} \frac{n\sqrt{x}}{1+n^2 x^2} \sin^{5} x {\rm d}x; \]

(4)

\[I(p)=\int_0^{+\infty} e^{-px} \frac{\sin x}{x} {\rm d} x,\quad p>0; \]

(5)

\[I(r)= \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-x^2} \cos rx {\rm d} x,\quad r \in \Bbb{R}. \]

(提示必須詳細驗證所用到的定理的條件是否滿足.)

第15周

[解答] 設$(X,\Bbb{M},\mu)$是一個測度空間, $E\in \Bbb{M}$. 記
\[L^r(E)=\left\{f\in M(E)\ \Big|\ \int_E |f|^r{\rm d}\mu<+\infty \right\} \]

其中$r>0$. 證明:
(1) 當$p,q>1$滿足$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$時, 對任何$f\in L^p(E)$, $g\in L^q(E)$, 都有$fg\in L(E)$, 并且成立H?lder不等式

\[\int_E |fg| {\rm d}\mu\leq \left(\int_E |f|^p{\rm d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \left( \int_E |g|^q{\rm d}\mu\right)^{\frac{1}{q}}; \]

(2) 當$p\geq 1$時, 對任何$f,g\in L^p(E)$, 都有$f+g\in L^p(E)$, 并且成立Minkowski不等式

\[\left(\int_E |f+g|^p{\rm d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} \leq \left(\int_E |f|^p{\rm d}\mu \right)^{\frac{1}{p}} +\left(\int_E |g|^p{\rm d}\mu \right)^{\frac{1}{p}}; \]

(3) 若$\mu(E)<+\infty$, 則當$p>q\geq 1$時, 成立$L^p(E)\subset L^q(E)$.

(提示：利用Young不等式, 參考有限和形式的H?lder不等式與Minkowski不等式的證明過程. 第(3)小題可利用第(1)小題的H?lder不等式, $g$取為常值函數1.)

第16周

[解答] 設$(X,\Bbb{M},\mu)$是一個測度空間, $E\in \Bbb{M}$, $p\in [1,+\infty)$, 函數列$f_n\in L^p(E)$, $n\in\Bbb{N}_+$并且滿足Cauchy條件: 對任意$\varepsilon>0$, 存在$N\in \Bbb{N}_+$, 使得當$m,n\geq N$時, 總成立
\[\|f_m-f_n\|_p <\varepsilon. \]

證明: 存在$f\in L^p(E)$, 使得

\[\|f_n-f\|_p\to 0. \]

(提示：符號$\|f\|_p$的具體含義見上周作業題的解答視頻. 證明過程可參考教材第144頁, 但是注意本題并沒有限制$E=[a,b]$, 也沒有限制$\mu(E)<+\infty$, 不能像教材中那樣使用H?lder不等式.)

第17周

設$f$是$[0,T]$上的絕對連續函數, 并且滿足

\[f'(t)\leq \alpha(t) f(t)+\beta(t),\quad \textrm{a.e. }t\in [0,T], \]

其中$\alpha,\beta$均為$[0,T]$上的非負Lebesgue可積函數. 證明:

\[f(t)\leq e^{\int_0^t \alpha(s)\textrmw0obha2h00s}\left[ f(0)+\int_0^t \beta(s)\textrmw0obha2h00 s \right],\quad \forall t\in [0,T]. \]

設$f$是$[0,T]$上的Lebesgue可積函數, 并且滿足
\[f(t)\leq C_1 \int_0^t f(s)\textrmw0obha2h00s+C_2,\quad \textrm{a.e. }t\in ]0,T], \]

其中$C_1,C_2\geq 0$. 證明:

\[f(t)\leq C_2\left(1+C_1 t e^{C_1 t} \right),\quad \textrm{a.e. }t\in [0,T]. \]

(提示: 上述兩題的條件分別稱為微分形式的Gronwall不等式和積分形式的Gronwall不等式, 利用第1題的結論可以證明第2題. 當$f$的性質比較好(例如連續可導)時, 可利用常微分方程中的積分因子技巧證明第1題; 對于$f$是絕對連續函數的情形, 證明方法類似, 但是需要利用Lebesgue積分框架下的微積分學基本定理和Newton-Leibniz公式.)

posted @ 2023-02-23 10:25 SunFengLong 閱讀(3050) 評論(0) 收藏舉報

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