課程信息

曲阜師范大學統(tǒng)計學院, 2021級統(tǒng)計學專業(yè).

上課時間地點: 1-18周, 周一1-2節(jié)綜合樓506，周三3-4節(jié)綜合樓606，周五1-2節(jié)綜合樓506. 6課時/周, 共計108課時.

教材:

數(shù)學分析(下冊，第五版), 華東師范大學數(shù)學科學學院 編, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040513233.

教學日歷

習題課視頻

參考資料：

【5】數(shù)學分析（第二版）, 梅加強 編著, 高等教育出版社, 2020, ISBN: 9787040533446.

作業(yè)

第1周
第2周
第3周
第6周
第7周
第8周
第9周
第10周
第11周
第12周

第1周

書面作業(yè)

1. [解答] 證明: 平面\(\Bbb{R}^2\)中非空集合\(F\)是閉集的充要條件是\(F\)中任何收斂點列\(\{P_m\}\)的極限點\(P_0\)都屬于\(F\).
   （提示：必要性的證明, 假設\(P_0\)不屬于閉集\(F\), 則\(P_0\)既不是\(F\)的內(nèi)點也不是\(F\)的界點, 從而\(P_0\)是閉集\(F\)的外點, 在此基礎上繼續(xù)推出矛盾. 充分性的證明, 可以用16.1-Ex3中聚點的等價定義.）

非書面作業(yè)

1. 做完16.1節(jié)的習題.

第2周

書面作業(yè)

1. [解答] 設\(f\)是點集\(D\subset \Bbb{R}^2\)上的函數(shù), \(P_0\in D\). 證明\(f\)在點\(P_0\)關于\(D\)連續(xù)的充要條件為: 對于\(D\)中任何收斂于點\(P_0\)的點列\(\{P_n\}\subset D\), 都成立

非書面作業(yè)

1. 做完第16章剩余的習題.

第3周

書面作業(yè)

1. [解答] 設\(D\)為\(\Bbb{R}^n\)中的開集, \(P_0\in D\). 對任意\(i=1,2,\cdots, n\), 稱\(n\)元函數(shù)

為點(或向量) \(x=(x_1,x_2,x_3,\cdots, x_n)\)的第\(i\)個坐標函數(shù).

(1) 對任意\(i=1,2,\cdots, n\), 證明坐標函數(shù)\(\pi^i\)在點\(P_0\)可微, 并求出該函數(shù)在\(P_0\)的微分\({\rm d}\pi^i(P_0)\)的具體表達式.
(提示: 求微分\({\rm d}\pi^i(P_0)\)的具體表達式, 就是寫出對任意\(h=(h_1,h_2,\cdots,h_n)\in \Bbb{R}^n\), \([{\rm d}\pi^i(P_0)]h=?\))

(2) 通過第(1)小題, 我們知道\({\rm d}\pi^i(P_0)\)是\(\Bbb{R}^n\)上的線性函數(shù), 從而\({\rm d}\pi^i(P_0)\in \left(\Bbb{R}^n\right)^*\)，其中\(\left(\Bbb{R}^n\right)^*\)是\(\Bbb{R}^n\)的對偶空間. 證明

是\(\Bbb{R}^n\)中的標準正交基\(e_1,e_2, \cdots, e_n\)的對偶基, 即

(3) 若\(n\)元函數(shù)\(f:D\to \Bbb{R}\)在點\(P_0\)可微, 我們知道\({\rm d}f(P_0)\in \left(\Bbb{R}^n\right)^*\). 證明\(\left(\Bbb{R}^n\right)^*\)中的向量\({\rm d}f(P_0)\)在基

下可以表示為

（提示：證明兩個線性函數(shù)\(\Bbb{A}\)，\(\Bbb{B}\)相等，只需要證明，對任意的\(h\in \Bbb{R}^n\), 都成立\(\Bbb{A}h=\Bbb{B}h\).）

第6周

書面作業(yè)

1. [解答] 設\(f:\Bbb{R}^n\to \Bbb{R}\)在整個\(\Bbb{R}^n\)上連續(xù), 并且滿足

即對于任意的正數(shù)\(M>0\), 存在\(G>0\), 使得當點\(P\in \Bbb{R}^n\)滿足\(\|P\|>G\)時, 總成立

證明\(f\)在\(\Bbb{R}^n\)上可以取到最小值.

(提示: 參考Ch4-總Ex2.)

非書面作業(yè)

做完第17章習題.

第7周

書面作業(yè)

1. 設\(D\)為\(\Bbb{R}^n\)中的開集, 向量函數(shù)\(f: D\to \Bbb{R}^n\)在\(D\)上連續(xù)可微. 證明: 如果

則\(f(D)\)也是\(\Bbb{R}^n\)中的開集.

（提示: 先想想\(n=1\)的情形應該如何證明。）

非書面作業(yè)

做完第18.1和18.2節(jié)習題.

第8周

書面作業(yè)

1. [解答] 利用Lagrange乘子法證明: 在周長為2p的一切三角形中, 面積最大的是等邊三角形.

(提示：題目與17.4-Ex10一致，但是17.4-Ex10是轉化為二元函數(shù)的無條件極值問題來解決的. 本作業(yè)題要求把它作為條件極值問題來處理, 目標函數(shù)(即三角形面積)是關于三條邊邊長的三元函數(shù).)

非書面作業(yè)

做完第18章剩余習題.

第9周

書面作業(yè)

1. [解答] 設二元函數(shù)\(f(x,y)\)在矩形區(qū)域

上連續(xù). 證明: 二元函數(shù)
$$F(x,u)=\int_a^u f(x,y) {\rm d} y$$
在\(D\)上連續(xù).

(提示：需要注意, 多元函數(shù)對每個變元單獨連續(xù)，保證不了該函數(shù)連續(xù). 證明多元函數(shù)的連續(xù)性，可借助連續(xù)性的點列定義, 即第2周作業(yè)題的結論, 將原問題轉化為數(shù)列極限問題. )

非書面作業(yè)

做完第19.1節(jié)習題和19.2-Ex1，19.2-Ex3

第10周

1. [解答] 利用含參量無窮積分的積分法計算以下無窮積分

注意:1. 需要驗證\(x=0\)確實不是被積函數(shù)的瑕點; 2. 需要說明含參量無窮積分的一致收斂性（可以指出用到了哪道例題的結論）； 3. 需要驗證積分次序可以交換順序.

非書面作業(yè)

做完第19章剩余習題

第11周

書面作業(yè)

設

其中\(C>0\)是滿足

的固定常數(shù). 任取\(\delta>0\), 定義函數(shù)

設\(f\)為定義在\(\Bbb{R}\)上的連續(xù)函數(shù), 令

證明:

(1) \(f^{\delta}\)在\(\Bbb{R}\)上無窮次可微;

(2) 在任意有限閉區(qū)間\([a,b]\)上, 總成立$$\lim_{\delta\to 0^+} \max_{x\in[a,b]}|f^{\delta}(x)-f(x)|=0.$$

（提示：1. 當\(x\)固定時, 因為函數(shù)\(\eta^{\delta}\)的特殊性, \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\eta^{\delta}(x-y){\rm d}y\)實際起作用的積分區(qū)域是一個有限閉區(qū)間; 2. \(\eta(x)\)在\(\Bbb{R}\)上無窮次可微; 3. 第（2）小題中需要用到對\(\eta(x)\)中的常數(shù)\(C\)的限制. ）

第12周

書面作業(yè)

1. 設平面金屬薄片所占的區(qū)域是由直線\(x+y=2\), \(y=x\)和\(x\)軸所圍成, 它的面密度為\(\rho(x,y)=x^2+y^2\), 求這個薄片的質(zhì)量.

2. 一塊非均勻金屬塊在空間中的表示是由雙曲拋物面\(z=xy\), 平面\(x+y=1\)和\(z=0\)所圍成的區(qū)域\(\Omega\), 其密度函數(shù)為\(\rho(x,y,z)=xy\), 求該金屬塊的質(zhì)量.