課程信息

作業(yè)

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課程信息

曲阜師范大學統(tǒng)計學院, 2021級統(tǒng)計學專業(yè).

上課時間地點: 1-18周, 周一1-2節(jié)綜合樓306，周二5-6節(jié)綜合樓606，周四1-2節(jié)綜合樓306. 6課時/周, 共計108課時.

教材:
數(shù)學分析(上冊，第五版), 華東師范大學數(shù)學科學學院 編, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040506945.

數(shù)學分析(下冊，第五版), 華東師范大學數(shù)學科學學院 編, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040513233.

教學日歷

課程講義 提取碼: 62rk

習題課視頻

參考資料：

【1】數(shù)學分析(第一卷)(第7版), [俄] B.A.卓里奇 著, 李植 譯, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040287554.

【2】微積分學教程(第二卷，第8版), [俄] 菲赫金哥爾茨 著, 徐獻瑜、冷生明、梁文騏 譯, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040183047.

【3】Writing Proofs in Analysis, Jonathan M. Kane, Springer, 2016, ISBN: 9783319309651.

【4】吉米多維奇數(shù)學分析習題集學習指引（第2冊）, 沐定夷、謝惠民 編, 高等教育出版社，2011， ISBN: 9787040323566.

【5】數(shù)學分析（第二版）, 梅加強 編著, 高等教育出版社, 2020, ISBN: 9787040533446.

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作業(yè)

第3周
第4周
第5周
第6周
第7周
第8周
第9周
第10周
第11周
第12周
第13周
第14周

第3周

書面作業(yè)

1. [解答]設\(f\in R[a,b]\), 并且\(\displaystyle J=\int_a^b f(x){\rm d}x\). 證明: 對任意\(\varepsilon>0\), 存在\([a,b]\)的子區(qū)間\([\alpha,\beta]\), 使得
   \[f(x)<\frac{J}{b-a}+\varepsilon,\quad \forall x\in [\alpha,\beta]. \]
   (提示: 反證法, 假設結論不成立(關鍵之處, 結論的否定形式是什么), 據(jù)此考察\([a,b]\)的任一分割\(T\)上的Darboux上和\(U(f,T)\), 再進一步考察Darboux上積分, 得到矛盾.)

非書面作業(yè)

1. 繼續(xù)反復練習第8章不定積分的例題和習題;

2. 做完第9章前3節(jié)的習題.

第4周

書面作業(yè)

1. [解答] 按照以下步驟證明圓周率\(\pi\)是無理數(shù).

   Step1. 設\(a,b\)為正整數(shù). 對任意\(n\in \Bbb{N}_+\), 定義多項式函數(shù)

   \[f(x)=\frac{x^n (a-bx)^n}{n!}. \]

   求\(f(x)\)的展開式中含\(x\)的項的最高次數(shù)和最低次數(shù).

   Step2. 結合Step1的結論并注意到

   \[f(x)=f\left(\frac{a}-x\right), \]

   驗證\(f\)及其\(j=2,4,6,\ldots,2n\)階導函數(shù)\(f^{(j)}\) 在點\(x=0\)和\(x=\frac{a}\)的函數(shù)值均為整數(shù).

   Step3. 令
   $$F(x)=f(x)- f''(x)+ f^{(4)} (x)-\cdots+(-1)^n f^{(2n)} (x).$$
   驗證

   \[F'(x)\sin x-F(x)\cos x \]

   是\(f(x)\sin x\)的一個原函數(shù).

   Step4. 反證法. 假設\(\pi\)不是無理數(shù)而是有理數(shù), 可表為既約分數(shù)\(\frac{a}\), 其中\(a,b\)均為正整數(shù). 按照前3步的過程定義函數(shù)\(f\)和\(F\), 證明
   \(\displaystyle \int_0^\pi f(x)\sin x{\rm d}x\)是整數(shù).

   Step5. 當\(x\in \left(0,\pi\right)\)時, 驗證不等式

   \[0<f(x)<\frac{\pi^n a^n}{n!}. \]

   最后, 與Step4的結論做對比, 得出矛盾.
   (提示: 數(shù)列\(\left\{ \frac{c^n}{n!} \right\}\)極限是多少？)

非書面作業(yè)

1. 整理本周課堂筆記;
2. 做完9.4節(jié)習題.

第5周

書面作業(yè)

1. [解答] 令

   \[I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x} {\rm d}x,\quad n=0,1,2，\cdots. \]

   (1) 求\(\lim\limits_{n\to \infty} I_n\); （提示：利用9.4節(jié)例3的分析方法）

   (2) 求\(I_n\)的遞推公式; (提示：\(\frac{x^n}{1+x}=\frac{x^{n-1}\cdot x}{1+x}=x^{n-1}\cdot \left(1-\frac{1}{1+x}\right)\))

   (3) 利用前兩個小題的結論計算數(shù)列極限

   \[\lim_{n\to \infty} \left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n} \right]. \]

非書面作業(yè)

1. 做完9.5節(jié)習題和第9章總練習題.

第6周

書面作業(yè)

1. [解答] 設曲線C極坐標方程為\(r=\cos 3\theta\), 按以下過程畫出\(0\leq \theta\leq \pi\)時曲線C的圖像.

Step1. 當\(\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\)時, 通過極坐標方程得到的極坐標\((r,\theta)\)都是主值極坐標. 通過描點法畫出\(\theta\in \left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\)時曲線C的圖像;

Step2. 當\(\theta\in \left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right]\)時, 通過極坐標方程得到的極坐標\((r,\theta)\)不是主值極坐標, 將這些極坐標轉化為主值 極坐標, 再利用主值極坐標的幾何意義通過描點法畫出\(\theta\in \left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}\right]\)時曲線C的圖像;

Step3. 考察\(\theta \in \left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{2\pi}{3}\right]\), \(\left(\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{6}\right]\), \(\left(\dfrac{5\pi}{6},\pi\right]\)的情形, 仿照Step1和Step2的過程, 利用主值極坐標的幾何意義通過描點法畫出相應情形下曲線C的圖像;

Step4. 用箭頭標記\(\theta\)從\(0\)連續(xù)變動到\(\pi\)的過程中曲線上對應的動點的移動軌跡，按先后順序用數(shù)字標記每一個弧段.

非書面作業(yè)

1. 做完10.1節(jié)習題中和極坐標方程無關的題目.
2. 繼續(xù)練習不定積分和定積分的計算, 特別是換元積分法和分部積分法.

第7周

書面作業(yè)

1. [解答] 設
   (i) \(\varphi\)在\([\alpha,+\infty)\)上可導并且對任意\(u>\alpha\), \(\varphi'\)都在\([\alpha,u]\)上可積;
   (ii) \(\varphi(\alpha)=a\). 對任意\(u>\alpha\), 有\(\varphi(u)>a\)并且\(\varphi([\alpha,u])\subset [a,\varphi(u)]\);
   (iii) \(\lim\limits_{t\to +\infty}\varphi(t)=A>a\), 并且\(\varphi([\alpha,+\infty))\subset [a,A)\).
   (iv) \(f\)在\([a,A)\)上連續(xù)；

(1) 若\(A=+\infty\), 證明無窮積分\(\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x\)與\(\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t\)同斂態(tài)(即斂散性相同). 特別地, 在同時收斂的情形下, 還成立

(2) 若\(A<+\infty\)并且\(x=A\)為瑕積分\(\displaystyle\int_a^{A}f(x){\rm d}x\)的瑕點, 證明瑕積分\(\displaystyle\int_a^{A}f(x){\rm d}x\)與無窮積分\(\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t\)同斂態(tài)(即斂散性相同). 特別地, 在同時收斂的情形下, 還成立

(3) 若\(A<+\infty\), 并且可以補充\(f\)在點\(x=A\)的值使得\(f\)在閉區(qū)間\([a,A]\)上可積, \(\displaystyle\int_a^{A}f(x){\rm d}x\)為正常積分. 證明無窮積分\(\displaystyle\int_{\alpha}^{+\infty}f(\varphi(t))\varphi'(t){\rm d}t\)收斂并且

(提示: 利用定積分的換元積分法. 反常積分本質上就是變限積分取極限.)

非書面作業(yè)

1. 做完10.1-10.4節(jié)的習題;
2. 做完11.1節(jié)的習題.

第8周

書面作業(yè)

1. [解答] 設\(f\)在\([a,b)\)上有定義, 對任意\(u\in [a,b)\), \(f\in R[a,u]\), 點\(x=b\)為函數(shù)\(f\)的瑕點. 仿照瑕點為區(qū)間左端點的瑕積分的Cauchy判別法(推論3), 敘述并證明本題中瑕點為區(qū)間右端點的瑕積分\(\displaystyle \int_a^b f(x){\rm d}x\)的Cauchy判別法. (要求: 不借助性質4, 而是仿照推論3的證明思路.)

非書面作業(yè)

1. 做完第11章的所有習題.

第9周

書面作業(yè)

1. [解答] 設\(u_n\geq 0\), \(\forall n\in \Bbb{N}_+\), 并且數(shù)列\(\{u_n\}\)中有無限多項為正實數(shù). 將級數(shù)\(\sum\limits_{n=1}^n u_n\)中取值為0的項都去掉, 所得的級數(shù)記為\(\sum\limits_{k=1}^\infty v_k\). 證明: \(\sum\limits_{n=1}^n u_n\)與\(\sum\limits_{k=1}^\infty v_k\)同斂態(tài), 特別地, 對于收斂的情形, 還成立

(關鍵：證明\(\sum\limits_{k=1}^\infty v_k\)的部分和數(shù)列\(\{\sigma_k\}\)是\(\sum\limits_{n=1}^n u_n\)的部分和數(shù)列\(\{S_n\}\)的子列.)

非書面作業(yè)

1. 做完12.1節(jié)習題；
2. 復習剛剛學完的一元函數(shù)積分學部分的內容.

第10周

書面作業(yè)

1. 設\(u_n>0\), \(\forall n\in\Bbb{N}_+\).

(1) 證明以下兩個條件等價：

(P) 存在\(N\in\Bbb{N}_+\)以及\(\lambda>1\), 使得\(n\geq N\)時, 成立
$$n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\right)>\lambda;$$

(P') 存在\(N\in\Bbb{N}_+\)以及\(r >1\), 使得\(n\geq N\)時, 成立
$$n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right)>r.$$

(2) 證明以下兩個條件等價：

(Q) 存在\(N\in\Bbb{N}_+\), 使得\(n\geq N\)時, 成立
$$n\left(\frac{u_n}{u_{n+1}} -1\right)\leq 1;$$

(Q') 存在\(N\in\Bbb{N}_+\), 使得\(n\geq N\)時, 成立
$$n\left(1-\frac{u_{n+1}}{u_{n}} \right)\leq 1.$$

非書面作業(yè)

1. 做完第12章全部習題；
2. 復習一元函數(shù)積分學部分的內容，準備期中考試.

第11周

書面作業(yè)

1. 證明函數(shù)列\(\{f_n\}\)在數(shù)集\(D\)上不一致收斂的充要條件是: 存在數(shù)列\(\{x_n\}\subset D\), 使得數(shù)列\(\{f_n(x_n)-f(x_n)\}\)不收斂于0.

非書面作業(yè)

1. 做完13.1節(jié)習題第1題.

第12周

書面作業(yè)

1. [解答] 設\(\{f_n\}\)是定義在\([a,+\infty)\)上的函數(shù)列, 并且
   (i) 對任意\(n\in \Bbb{N}_+\), 無窮積分\(\displaystyle\int_a^{+\infty}f_n(x){\rm d}x\)都收斂;
   (ii) \(\{f_n\}\)在\([a,+\infty)\)上內閉一致收斂于\(f\);
   (iii) 存在定義在\([a,+\infty)\)上的非負函數(shù)\(F\), 滿足無窮積分\(\displaystyle \int_a^{+\infty}F(x){\rm d}x\)收斂并且
   \[|f_n(x)|\leq F(x) ，\quad \forall x\in [a,+\infty),\ \forall n\in \Bbb{N}_+. \]

證明: 無窮積分\(\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x){\rm d}x\)也收斂, 并且

非書面作業(yè)

1. 做第13章所有習題.

第13周

1. [解答] （證明收斂半徑的存在性) 設冪級數(shù)\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂域\(D\)是有界集, 并且\(D\)中含有非零的點. 證明: 存在\(R\in (0,+\infty)\), 使得
   (i) 當\(x_0\in (-R,R)\)時, 冪級數(shù)\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在點\(x_0\)絕對收斂；
   (ii) 當\(|x_0|>R\)時, 冪級數(shù)\(\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在點\(x_0\)發(fā)散.
   (提示: 令\(R=\sup\limits_{x\in D}|x|\), 利用冪級數(shù)的Abel定理證明這樣定義的\(R\)符合題目要求.)

非書面作業(yè)

1. 做完14.1節(jié)習題;
2. 復習上冊第6章Taylor公式的內容, 以及9.5節(jié)Taylor公式的積分型余項.

第14周

1. 設函數(shù)項級數(shù)\(\sum\limits_{n=1}^n f_n(t)\)的收斂域為區(qū)間\(D\), 并且在\(D\)上內閉一致收斂. 若函數(shù)\(g\)在區(qū)間\(I\)上連續(xù), 并且\(g(I)\subset D\), 證明: 函數(shù)項級數(shù)\(\sum\limits_{n=1}^\infty f_n\left(g(x)\right)\)在區(qū)間\(I\)上內閉一致收斂.
   (提示：若\(g\in C[a,b]\), 則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值性定理的推論可知\(g([a,b])\)也是閉區(qū)間.)

非書面作業(yè)

1. 做完14.2節(jié)習題;
2. 復習第12章數(shù)項級數(shù)內容.

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