2021-2022學年第1學期-數學分析1
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課程信息
曲阜師范大學統計學院, 2021級統計學專業.
上課時間地點: 5-18周, 周二3-4節綜合樓306，周三1-2節綜合樓201，周五1-2節綜合樓301. 6課時/周, 共計84課時.
教材:
數學分析(上冊，第五版), 華東師范大學數學科學學院 編, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040506945.
課程講義 提取碼: 62rk
參考資料：
【1】數學分析(第一卷)(第7版), [俄] B.A.卓里奇 著, 李植 譯, 高等教育出版社, 2019, ISBN: 9787040287554.
【2】微積分學教程(第一卷，第8版), [俄] 菲赫金哥爾茨 著, 楊弢亮、葉彥謙 譯, 高等教育出版社, 2006, ISBN: 9787040183030.
【3】Writing Proofs in Analysis, Jonathan M. Kane, Springer, 2016, ISBN: 9783319309651.
【4】吉米多維奇數學分析習題集學習指引（第1冊）, 沐定夷、謝惠民 編, 高等教育出版社，2010， ISBN: 9787040295313.
作業
第5周
第6周
第7周
第8周
第9周
第10周
第11周
第12周
第13周
第14周
第15周
第16周
第5周
書面作業
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[本題的解答] 設\(q>1\). (以下題目不得使用對數運算)
(1) 證明: 集合
\[S=\{q^k\ |\ k\in \Bbb{N}_+\} \]無上界;
(2) 證明: 對任意\(\varepsilon>0\), 存在正整數\(M\), 使得當\(n\in \Bbb{N}_+\)并且\(n>M\)時, 都成立
\[0<\frac{1}{q^n} <\varepsilon; \](3) 設\(c>0\), 證明: 集合
\[E=\{k\in \Bbb{Z}\ |\ c< q^k \} \]存在最小值.
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(數學寫作規范) 觀察數學分析教材或者高等代數教材, 回答以下問題：
(1) 教材正文中使用的標點符號是中文標點符號還是英文標點符號？
(2) 輸入中文標點后，不需要空格，直接寫下一句。輸入英文標點(特別是逗號和句號)后, 是否需要空一格再輸入下一句話？
非書面作業
- 自己做完1.1節全部習題和1.2節習題的第1題到第5題；
- 預習1.3節和1.4節的全部內容；
- 觀看b站視頻：極限的嚴格定義(\(\varepsilon\)-\(\delta\) definition)
- 觀看b站視頻: 數學分析簡史
第6周
書面作業
-
[本題的解答] 按以下步驟證明指數函數
\[f(x)=a^x,\quad x\in (-\infty,+\infty) \]的值域是\((0,+\infty)\), 其中\(a>1\). 也就是證明, 對任何正數\(y>0\), 方程
\[a^x=y \]都存在實數解.
Step 1. 證明: 存在\(m,n\in\Bbb{N}_+\), 使得
\[a^{-n}< y < a^m; \]Step 2. 若存在實數\(x\), 使得\(a^x< y\), 則必存在\(n\in \Bbb{N}_+\)使得
\[a^{x+\frac{1}{n}}< y; \]Step3. 若存在實數\(x\), 使得\(a^x>y\), 則必存在\(n\in\Bbb{N}_+\)使得
\[a^{x-\frac{1}{n}}> y; \](提示: 前3步都可利用上一周作業題1(1)的結論來證明.)
Step 4. 利用Step 1的結論證明: 集合
\[S=\{r\in \Bbb{Q}\ | \ a^r<y \} \]是非空的有上界的集合;
Step 5. 記\(x=\sup S\). 結合Step 2和Step 3的結論, 利用反證法證明:
\[a^x=y. \](提示: 利用反證法可推導出與"\(x\)是集合\(S\)的上確界"矛盾的結論.)
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(數學寫作規范) 觀察數學分析教材或者高等代數教材, 回答以下問題：
(1) 數學式子(特別是在式子輸入完畢時)需要使用標點符號嗎？
(2) 閱讀以下句子, 用紅筆標記出其中標點符號的錯誤或缺失，并改正:
\(\Bbb{R}^2\)的如下映射\(L_v\):
\[(\xi, \tau)=L_v (x,t) \]其中\(v\)是一個滿足要求\(0\leq v < c\)的實數, \(c\)表示光速.
根據圖像可知, 函數
\[f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+1,&\quad x\in [-1,0)\\ 2x-2,&\quad x\in [0,1] \end{array} \right.\]不是區間\([-1,1]\)上的增函數。
非書面作業
做完本章全部習題
第7周
書面作業
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[本題解答] 按照數列極限的\(\epsilon-N\)定義驗證極限等式
\[\lim_{n\to \infty} \dfrac{n^k}{a^n}=0, \]其中\(k\in \Bbb{N}_+\), \(a>1\).
(提示 設\(a=1+h\), 其中\(h>0\). 對分母\((1+h)^n\)利用二項式展開，在\(n>k\)的前提下, 分母只保留\(C_n^{k+1}h^{k+1}\), 再估計\(\frac{n^k}{C_n^{k+1}}\).)
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(數學寫作規范) 用紅筆標出下圖中的標點符號缺失或錯誤的地方，并修改.
非書面作業
做完2.1節全部習題和2.2節除了Ex6, Ex7的全部習題.
第8周
書面作業
-
[本題解答] 設\(a\in \Bbb{R}\), \(\delta>0\), 證明:
(1) 在\(a\)的去心左鄰域\(U_-^0(a;\delta)=(a-\delta,a)\)內存在嚴格遞增的有理數列\(\{r_n\}\), 滿足
\[\lim_{n\to \infty}r_n=a; \](2) 在在\(a\)的去心右鄰域\(U_+^0(a;\delta)=(a,a+\delta)\)內存在嚴格遞減的無理數列\(\{s_n\}\), 滿足
\[\lim_{n\to \infty}s_n=a. \]
(提示 參考2.3節例3的證明過程, 結合有理數和無理數在實數集中的稠密性.)
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(數學寫作規范) 重新排版下圖里的內容, 要求:
(1) 讓讀者一眼就能看出哪部分是題干, 哪部分是解答;
(2) 思考是否在需要的地方進行分段, 分段是否要在段首縮進兩個字;
(3) 改正其中的標點符號錯誤和幾處錯誤斷行;
(4) 重新對數學公式進行編號, 刪除其中冗余的公式編號, 只保留需要的公式編號.
來源: 學生提交的畢業論文
非書面作業
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做完第2章全部習題;
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閱讀Halmos的自傳《我要作數學家》前3章.
第9周
書面作業
- [本題解答] 設
(i) \(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=A\), 并且存在\(a\in \Bbb{R}\), 使得當\(x>a\)時, 總有
$$f(x)>A;$$
(ii) \(\lim\limits_{t\to A^+} g(t)=B\),
其中\(A,B\in \Bbb{R}\). 證明:
- (數學寫作規范) 列出所有24個希臘字母的大小寫及英文名稱.
非書面作業
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做完3.1，3.2節習題, 3.4節Ex1~Ex3, 第三章總練習題Ex1.
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閱讀ukim于2002年在北大未名bbs連載的數學家的故事——Heroes in My Heart.
第10周
書面作業
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[本題解答] 設函數\(f\), \(g\)和\(h\)在點\(x_0\)的某去心鄰域\(U^\circ\left(x_0;\delta_0\right)\)上有定義, 并且
\[f(x) \leq h(x)\leq g(x),\quad \forall x\in U^\circ\left(x_0;\delta_0\right). \](1) 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty\), 結合正無窮大量的定義證明: \(\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=+\infty\);
(2) 若\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=-\infty\), 結合負無窮大量的定義證明: \(\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=-\infty\);
(3) 若\(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\infty\)并且\(\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=\infty\), 是否成立\(\lim\limits_{x\to x_0}h(x)=\infty\)？ 若成立, 證明該結論; 若不成立, 給出具體的反例.
非書面作業
做完第3章全部習題.
第11周
書面作業
- [本題解答 ]設函數\(f:[a,b]\to [a,b]\), 并且存在\(q\in (0,1)\)使得
證明:
(1) 任取\(x_0\in [a,b]\), 作迭代數列\(x_n=f(x_{n-1})\), \(n\in \Bbb{N}_+\), 則\(\{x_n\}\)收斂于\([a,b]\)中某點\(x^*\); (提示: 先利用條件和數學歸納法考察\(|x_{n+1}-x_n|\)與\(|x_1-x_0|\)的關系, 再證明\(\{x_n\}\)滿足Cauchy條件.)
(2) \(x^*\)是\(f\)在\([a,b]\)中唯一的不動點. (提示: 需要證明并利用\(f\)的連續性.)
非書面作業
做完4.1節習題和4.2節第1到第10題.
第12周
書面作業
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[本題解答]按照以下步驟證明實數集\(\Bbb{R}\)是不可數集合，即\(\Bbb{R}\)中的全體元素不能表示成各項互異的數列\(a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\)的形式.
Step1. 設\(J\subset \Bbb{R}\)是一個閉區間, 長度記為\(|J|\), 其中\(|J|>0\). 證明: 對任意\(a\in \Bbb{R}\), 存在閉區間\(I\subset J\), 使得
\(|I|=\dfrac{1}{3}|J|\)并且\(a\not\in I\).Step2. 若\(\{a_n\}\)是一列各項互異的數列, 利用Step1的結論證明: 存在閉區間套\(I_1\supset I_2 \supset \cdots \supset I_n\supset\cdots\), 使得
$$a_1\not\in I_1,\quad a_2\not\in I_2,\quad \cdots,\quad a_n\not\in I_n,\quad\cdots.$$Step3. 利用反證法和Step2的結論證明: \(\Bbb{R}\)中的全體元素不能表示成各項互異的數列\(a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots\)的形式.
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(數學寫作規范) 翻譯Jonathan M. Kane的Writing Proofs in Analysis前言(Preface).
非書面作業
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做完第4章剩余的全部習題.
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閱讀Jonathan M. Kane的Writing Proofs in Analysis.
第13周
書面作業
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[本題解答]設\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)是有界數列, 證明:
(1)
\[\varliminf_{n\to \infty} (a_n+b_n)\leq \varliminf_{n\to \infty} a_n + \varlimsup_{n\to \infty} b_n\leq \varlimsup_{n\to \infty}(a_n+b_n). \](2) 若\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)還是非負數列, 則
\[\varliminf_{n\to \infty} (a_nb_n)\leq \varliminf_{n\to \infty} a_n \cdot \varlimsup_{n\to \infty} b_n\leq \varlimsup_{n\to \infty}(a_nb_n). \]
非書面作業
- 做完第7章課后習題.
- 注意教學計劃, 安排好數學分析的期末復習.
第14周
書面作業
- 利用導數的定義驗證\(\arcsin x\)和\(\arccos x\)在點\(x_0=1\)是否左可導.
非書面作業
- 做完第5章前兩節習題.
第15周
書面作業
- 設函數\(f\)在閉區間\([0,1]\)上連續, 在開區間\((0,1)\)上可導, 并且\(f(1)=1\), 證明: 存在\(\xi\in (0,1)\), 使得
(提示: 哪個函數求導之后是\(f(x)+x f'(x)-2x\)?)
非書面作業
- 做完6.1節習題Ex1-Ex5,Ex8-Ex13, 6.2節習題Ex1，Ex2.
第16周
書面作業
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[本題解答]設函數\(f\)在\((0,+\infty)\)上可導并且滿足
\[\lim_{x\to +\infty} \left[ af(x)+xf'(x)\right]=b, \]其中常數\(a>0\). 求\(\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)\).
(提示: 與教材6.2節例8類似. 哪個函數求導之后會出現\(af(x)+xf'(x)\)?)
非書面作業
- 做完6.1節，6.2節和6.2節和6.3節全部習題.
浙公網安備 33010602011771號