課程信息

數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 17級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)(非師范)專業(yè)2班
地點：綜合樓306
時間：1-18周，周四下午5-7節(jié)，3課時/周, 共計54課時.

教材：實變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)(第三版), 程其襄、張奠宙等 編, 高等教育出版社, 2010, ISBN: 9787040292183.
習(xí)題參考答案 點擊下載

參考材料：
【1】泛函分析，胡適耕 編著, 高等教育出版社, 2001, ISBN: 9787040102956. (有配套的輔導(dǎo)書 《實變函數(shù)與泛函分析：定理·方法·問題》)
【2】實變函數(shù)與泛函分析, 郭大鈞、黃春朝等 編, 山東大學(xué)出版社，2005， ISBN: 9787560729879.
【3】泛函分析講義（上冊）, 張恭慶、林源渠 編著, 北京大學(xué)出版社, 2001, ISBN: 9787040183030.
【4】實變函數(shù)論與泛函分析（下冊·第二版修訂本）, 夏道行、吳卓人等 編著, 高等教育出版社出版社, 2010, ISBN: 9787040272482.
【5】線性與非線性泛函分析及其應(yīng)用（上冊）, [法] Philippe G.Ciarlet 著, 秦鐵虎、童裕孫 譯, 高等教育出版社, 2017, ISBN: 9787040477481.
【6】Introduction to Functional Analysis, 2ed, reprint ed, Angus E. Taylor, R.E. Krieger Pub. Co, 1986, ISBN: 0898749514.
【7】泛函分析——理論和應(yīng)用, Haim Brezis 著, 葉東、周風 譯, 清華大學(xué)出版社, 2009, ISBN: 9787302167204. (英文影印版國內(nèi)已出版 泛函分析、索伯列夫空間和偏微分方程)

教學(xué)計劃

作業(yè)

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第1周
第2周
第3周
第4周
第5周
第6周
第7周
第8周
第9周
第10周
第11周
第12周
第13周
第14周
第15周
第16周

第1周

1. 定義(等價距離)： 設(shè)集合\(X\)上有兩種距離：\(d_1\), \(d_2\). 如果\(X\)中按距離\(d_1\)收斂的點列\(\{x_n\}\)都在距離\(d_2\)下收斂于同一點, 并且按距離\(d_2\)收斂的點列\(\{x_n\}\)都在距離\(d_1\)下收斂于同一點, 即

則稱距離\(d_1\)和\(d_2\)等價.

• (1) 設(shè)\(d(x,y)\)是集合\(X\)上的距離, 令

  \[\tildew0obha2h00(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}. \]

  證明: \(\tildew0obha2h00(x,y)\)也是\(X\)上的距離, 并且\(\tildew0obha2h00\)與\(d\)等價.

• (2) 在\(\Bbb{R}^N\)中可定義兩種距離：

  \[d_1(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^N \left|\xi_i-\eta_i\right|^2}, \]
  \[d_2(x,y)=\max_{1\leq i\leq N}\left|\xi_i-\eta_i\right|, \]

  其中\(x=(\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_N)\in \Bbb{R}^N,\) \(y=(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_N)\in \Bbb{R}^N.\) 證明：\(d_1\)和\(d_2\)等價.

第2周

1. 設(shè)\(P_r[a,b]\)是定義在閉區(qū)間\([a,b]\)上的所有有理系數(shù)多項式函數(shù)的全體. 顯然, \((P_r[a,b],d)\)是連續(xù)函數(shù)空間\((C[a,b],d)\)的距離子空間, 其中
   \[d(f,g)=\max_{t\in [a,b]}\left|f(t)-g(t)\right|,\quad \forall f,g\in C[a,b]. \]

證明: \(P_r[a,b]\)是\(C[a,b]\)的可數(shù)稠密子集, 從而\(C[a,b]\)可分.

2. 按以下步驟證明

   Riemann-Lebesgue引理: 設(shè)\(f\in L[a,b]\), 對應(yīng)的Fourier系數(shù)為

   \[a_n=\int_a^b f(x)\sin nx {\rm d}x,\quad b_n=\int_a^b f(x)\cos nx {\rm d}x,\quad n\in \Bbb{N}, \]

   則\(a_n,\,b_n\to 0 \quad (n\to\infty)\).

   • Step1. 若\(f\)是\([a,b]\)上的簡單函數(shù)(P80定義3), 證明上述結(jié)論成立.
   • Step2. 設(shè)\(S[a,b]\)是定義在閉區(qū)間\([a,b]\)上的簡單函數(shù)的全體. 顯然, \(S[a,b]\)是\(L[a,b]\)的距離子空間, 其中距離
     \[d(f,g)=\int_a^b |f(t)-g(t)|{\rm d}t,\quad \forall f,g\in L[a,b]. \]

   證明: \(S[a,b]\)是\(L[a,b]\)的稠密子集.

   • Step3. 利用稠密性, 證明Riemann-Lebesgue引理成立.

第3周

1. 設(shè)\((X,d)\)是度量空間, \(\{x_n\}\)是\((X,d)\)中的Cauchy點列, 證明: \(\{x_n\}\)收斂當且僅當\(\{x_n\}\)存在收斂子列.

2. 設(shè)\(f\)是度量空間\((X,d)\)到\(\Bbb{R}\)的連續(xù)映射, \(M\)是\(X\)中的緊集, 證明: 連續(xù)映射\(f\)在緊集\(M\)上能夠取到最值, 即存在\(x_0,x_1\in M\)使得

3. 定義(H?lder連續(xù)函數(shù)): 設(shè)\(\alpha\in (0,1]\). 若\(f\in C[a,b]\)滿足

則稱\(f\)是\([a,b]\)上具有指數(shù)\(\alpha\)的H?lder連續(xù)函數(shù). \(C[a,b]\)中所有具有指數(shù)\(\alpha\)的H?lder連續(xù)函數(shù)的全體記為\(C^{0,\alpha}[a,b]\).

(1) 令
$$\barw0obha2h00(f,g)=\max_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|+[f-g]_{\alpha}, \quad\forall f,g\in C^{0,\alpha}[a,b], $$
證明$(C^{0,\alpha}[a,b],\barw0obha2h00)$是一個度量空間.

(2) 證明$(C^{0,\alpha}[a,b],\barw0obha2h00)$是完備的度量空間.

(3) 利用Ascoli-Arezela定理證明, 若$M$是$(C^{0,\alpha}[a,b],\barw0obha2h00)$中的有界集, 則$M$是$(C[a,b],d)$中的列緊集, 其中$d$是最大值距離, 即
$$d(f,g)=\max_{t\in [a,b]}|f(t)-g(t)|,\quad \forall f,g\in C[a,b].$$

第4周

1. 設(shè)\(X\)是完備的度量空間, \(T\)是\(X\)到\(X\)中的映射, 如果存在正整數(shù)\(m\in \Bbb{N}_+\)以及常數(shù) \(\alpha \in [0,1)\)使得對所有的\(x,y\in X\), 都有

其中\(T^m\)表示映射\(T\)作用\(m\)次, 則\(T\)在\(X\)中有且只有一個不動點\(x^*\), 特別地, 迭代點列

在\((X,d)\)中收斂于不動點\(x^*\).

2. Volterra型線性積分方程解的存在唯一性問題. 設(shè)\(f\in C[a,b]\), 二元函數(shù)\(k(t,s)\)在\([a,b]\times[a,b]\)上連續(xù). 利用上題的結(jié)論證明, 對任意\(\lambda\in\Bbb{R}\), 積分方程

總存在唯一的連續(xù)函數(shù)解\(\phi\in C[a,b]\).

第5周

1. 設(shè)\((X,\|\cdot\|)\)是一個賦范空間, \(x_0\in X\), \(\epsilon>0\). 令

   \[\begin{array}{rcl} U(x_0,\epsilon)&=&\{x\ |\ \|x-x_0\|<\epsilon \},\\ S(x_0,\epsilon)&=&\{x\ |\ \|x-x_0\|\leq\epsilon \}, \end{array}\]

   則

   \[\overline{U(x_0,\epsilon)}=S(x_0,\epsilon). \]

2. (內(nèi)插不等式) 設(shè)\(1\leq s\leq r\leq t< \infty\), \(u\in L^s(\Omega)\cap L^t(\Omega)\), 利用H?lder不等式證明\(u\in L^r(\Omega)\)并且

   \[\|u\|_r\leq \|u\|_s^\theta \|u\|_t^{1-\theta}, \]

   其中\(\theta\in [0,1]\)滿足

   \[\frac{1}{r}=\frac{\theta}{s}+\frac{1-\theta}{t}. \]

3. (\(L^p(\Omega)\)與\(L^\infty(\Omega)\)的聯(lián)系) 設(shè)\(\Omega\)是\(\Bbb{R}^n\)中的可測集并且\(m(\Omega)<+\infty\), 證明

   (1) 若\(p,q\)滿足\(1\leq p<q\leq \infty\), 則

   \[L^q(\Omega)\subset L^p(\Omega), \]

   并且存在與\(m(\Omega),p\)和\(q\)相關(guān)的正常數(shù)\(C\)使得

   \[\|f\|_p\leq C\|f\|_q,\quad \forall f\in L^q(\Omega). \]

   (2) 對任意\(f\in L^\infty(\Omega)\), 都有

   \[\lim_{p\to+\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty. \]

4. (Brezis-Lieb引理) 設(shè)\(\Omega\)是\(\Bbb{R}^n\)中的可測集, \(1\leq p<\infty\). 若\(L^p(\Omega)\)中的函數(shù)列\(\{u_n\}\)滿足
   (1). \(\{u_n\}\)是\(L^p(\Omega)\)中的有界點列;
   (2). \(u_n(x)\to u(x)\ a.e. x\in \Omega\quad (n\to \infty)\).
   證明\(u\in L^p(\Omega)\)并且

   \[\lim_{n\to \infty}\left(\|u_n\|_p^p-\|u_n-u\|_p^p \right)=\|u\|_p^p. \]

第6周

歡度國慶！

第7周

1. 設(shè)\(\Omega\)是\(\Bbb{R}^n\)中的一個可測集, \(1\leq p<\infty\). 若\(\{f_n\}\subset L^p(\Omega)\), \(f\in L^p(\Omega)\)并且

   \[\|f_n-f\|_p\to 0\quad (n\to\infty), \]

   則函數(shù)列\(\{f_n\}\)在\(\Omega\)上依測度收斂于\(f\).

2. 證明

   Riesz引理： 設(shè)\((X,\|\cdot\|)\)是一個賦范線性空間, \(X_0\)是\(X\)的一個真閉子空間, 則對任意\(\varepsilon\in (0,1)\), 存在\(y\in X\)使得
   \(\|y\|=1\)并且\(\forall x\in X_0\), 有\(\|y-x\|> \varepsilon\).

3. 定義(嚴格凸): 設(shè)\((X,\|\cdot\|)\)是一個賦范線性空間. 如果對任意

   \[x,y\in S=\{x\in X\ |\ \|x\|=1\},\quad\textrm{并且}\quad x\neq y, \]

   都有

   \[\|\alpha x+\beta y\|<1\quad (\forall \alpha,\beta>0,\ \alpha +\beta=1) \]

   則稱\((X,\|\cdot\|)\)是嚴格凸的賦范線性空間.

   設(shè)\((X,\|\cdot\|)\)是嚴格凸的賦范線性空間, \(M=\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}\subset X\), 則對任意\(x\in X\), 證明存在唯一的\(y_0\in span M\), 使得

   \[\|x-y_0\|=\min_{y\in span M}\|x-y\|. \]

   (我們在課上已經(jīng)證明了最佳逼近元\(y_0\)的存在性. 這里只需要證明, 在嚴格凸的條件下, 最佳逼近元是唯一的.)

第8周

1. 設(shè)\((X,\|\cdot\|_1)\)是\(n\)維賦范線性空間, \((Y,\|\cdot\|_2)\)是\(m\)維賦范線性空間，數(shù)域均為實數(shù)域\(\Bbb{R}\). 證明\(X\)到\(Y\)上的任何線性算子都是有界線性算子.

2. 設(shè)\(D=[a,b]\times [a,b]\subset \Bbb{R}^2\)是一個正方形區(qū)域, 三元函數(shù)\(k(x,y,u)\)在\(D\times \Bbb{R}^1\)上連續(xù). 令

   \[(K\phi)(x)=\int_a^b k\left(x,y,\phi(y)\right) dy,\quad \phi\in C[a,b]. \]

證明\(K\)是從\(C[a,b]\)映入\(C[a,b]\)的全連續(xù)算子.
(提示: 證明緊性需要用到Ascoli-Arezela定理.)

3. 設(shè)\(X\)是一個Banach代數(shù), 則對任意\(x\in X\), 極限
   \[\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\|x^n\|} \]

存在, 并且等于\(\inf\limits_{n\geq 1}\sqrt[n]{\|x^n\|}\).

第9周

1. (連續(xù)線性算子的保范延拓) 設(shè)\(X\)是賦范線性空間, \(Y\)是Banach空間, \(D\)是\(X\)的線性子空間, 算子

   \[T:D\to Y \]

   是連續(xù)線性算子. 證明\(T\)能唯一地延拓到\(\overline{D}\)上成為連續(xù)線性算子

   \[T_1 : \overline{D} \to Y, \]

   使得\(\|T_1\|=\|T\|\)并且

   \[T_1 x= Tx, \quad \forall x\in D. \]

2. 設(shè)\(k\in C[a,b]\). 定義\(C[a,b]\)上的線性泛函

   \[f(x)=\int_a^b k(t)x(t) {\rm d} t,\quad \forall x\in C[a,b]. \]

   證明\(f\)是\(C[a,b]\)上的有界線性泛函, 并求出泛函\(f\)的范數(shù)\(\|f\|\).

3. 定義: (Schauder基) 設(shè)\(X\)是一個賦范線性空間, \(\{e_k\ |\ k\in \Bbb{N}_+\}\)是\(X\)中的可數(shù)向量列. 如果對任意\(x\in X\), 存在唯一的一列數(shù)\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k,\cdots\in \Bbb{F}\), 使得

   \[x=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^n \alpha_k e_k=\sum_{k=1}^\infty \alpha_k e_k, \]

則稱\(\{e_k\}\)是\(X\)的一組Schauder基. 如果還有\(\|e_k\|=1\) (\(\forall k\in \Bbb{N}_+\)), 則稱\(\{e_k\}\)是\(X\)的一組標準Schauder基.

設(shè)$1\leq p\leq \infty$. 對任意$k\in \Bbb{N}_+$, 取
$$e_k=(0,\cdots,0, \overset{k}{1},0,\cdots)\in l^p,$$
證明$\{e_k\}$是$l^p$的一組標準Schauder基.

第10周

1. 設(shè)\(X\)是一個內(nèi)積空間, \(M\)是\(X\)中的閉凸子集, \(x\in X\). 證明: \(y_0\in M\)是\(x\)在\(M\)中的最佳逼近元, 即

   \[\|x-y_0\|=d(x,M), \]

   當且僅當

   \[Re \langle x-y_0, y_0-y \rangle\geq 0, \forall y\in M. \]

2. 設(shè)\(X\)是一個內(nèi)積空間, \(x_0\in X\), 實數(shù)\(r>0\). 令

   \[M=\{x\in X\ |\ \|x-x_0\|\leq r\}. \]

   證明:

   (1) \(M\)是\(X\)中的閉凸子集;

   (2) 對任意\(x\in X\), 令

   \[y=\left\{\begin{array}{ll} x_0+r\frac{x-x_0}{\|x-x_0\|},&\quad x\not\in M,\\ x,&\quad x\in M. \end{array} \right.\]

    則$y$是$x$在$M$中的最佳逼近元.
   

第11周

證明:

(Riesz-Fischer定理) 設(shè)\(\{e_i\}\)是\(L^2(\Omega)\)中的規(guī)范正交系, 則對任意\(x=(\xi_1,\xi_2,\cdots)\in l^2\), 存在\(f\in L^2(\Omega)\), 使得\(\|f\|_2=\|x\|_2\)并且

$$\langle f,e_i \rangle=\xi_i,\quad i=1,2,\cdots.$$

第12周

設(shè)\(e_0(t)\equiv \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(e_1(t)=\cos t\), \(e_2(t)=\sin t\), \(e_3(t)=\cos 2t\), \(e_4(t)=\sin 2t\), \(\cdots\), \(e_{2n-1}(t)=\cos nt\), \(e_{2n}(t)=\sin nt\), \(\cdots\).
令\(M=\{e_i\}_{i=0}^\infty\), 我們已經(jīng)知道, \(M\)是Hilbert空間

中的規(guī)范正交系.

按以下步驟證明, 三角函數(shù)系\(M\)是\(L^2[a,b]\)中的完全規(guī)范正交系.

Step1. 證明

(Weierstrauss三角逼近定理) 設(shè)\(f\in C[-\pi,\pi]\), 并且\(f(-\pi)=f(\pi)\), 則對任意\(\varepsilon>0\), 存在三角多項式

使得

Step2. 設(shè)\(T\)是\([-\pi,\pi]\)上的一個三角多項式, 則\(T\in C[-\pi,\pi]\), 同時也有\(T\in L^2[-\pi,\pi]\). 證明: \(T\)關(guān)于三角函數(shù)系\(M\)滿足Parseval等式, 即

(提示：根據(jù)三角函數(shù)系的兩兩正交性, 上述等式右邊的級數(shù)其實是一個有限和. 計算三角多項式\(T\)的范數(shù)時也要利用三角函數(shù)系的兩兩正交性.)

Step3. 利用Steklov定理(教材P255推論2), 證明\(M\)是\(L^2[a,b]\)中的完全規(guī)范正交系.

第13周

(內(nèi)積空間上算子的范數(shù)) 設(shè)\(X\)為復(fù)內(nèi)積空間, \(A\in {\rm \mathbf{B}}(X\to X)\), 證明:

(1) $$|A|=\sup_{\substack{x,y\in X,\x\neq 0,\ y\neq 0}}\frac{\left|\langle Ax,y\rangle \right|}{|x|\cdot |y|};$$

(2) 若\(A\)還是自伴算子, 即
$$\langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay \rangle,\quad \forall x,y\in X,$$
則
$$|A|=\sup_{\substack{x\in X,\x\neq 0}}\frac{\left|\langle Ax,x\rangle \right|}{|x|^2}.$$

第14周

利用Hahn-Banach定理的推論3(即課后習(xí)題第2題)證明以下定理.

定理: 設(shè)\(X\)是賦范線性空間. 若\(X\)的共軛空間\(X'\)可分, 則\(X\)自身也可分.

第15周

證明

Banach-Steinhaus定理: 設(shè)\(X\)是Banach空間, \(Y\)是賦范線性空間, \(M\)是空間\(X\)的一個稠密子集, \(\{T_n\}\)是\(X\)到\(Y\)的一列有界線性算子, \(T\in B(X\to Y)\),則

的充要條件是
(i) 算子列\(\{T_n\}\)在空間\(B(X\to Y)\)中有界;
(ii) 對任意\(x\in M\), 有\(\lim\limits_{n\to \infty} T_nx =Tx\).

第16周

1. 設(shè)\(X\)為Banach空間, \(X'\)是\(X\)的共軛空間. 在\(X\)中, 點列\(\{x_n\}\)弱收斂于\(x\); 在\(X'\)中, 泛函列\(\{f_m\}\)強收斂于\(f\)，證明

   \[f_m(x_n)\to f(x)\quad (m,n\to \infty). \]

2. 設(shè)\(H\)是Hilbert空間, 證明: 在\(H\)中\(x_n\to x\)的充分必要條件是

   \[\|x_n\|\to \|x\|\quad \textrm{并且} \quad x_n \rightharpoonup x. \]

注記隨記