目錄

1. 補碼誕生的背景

2. 原碼、反碼、補碼

2.1 原碼

2.2 反碼

2.3 補碼

3. 加減法

3.1 普通算術加減法

3.2 模N加減法

4. 總結

1. 補碼誕生的背景

       不論是在生活中還是虛擬網絡中，人們總是習慣與10進制數字打交道，很容易理解10進制的加減乘除運算，但是我們知道計算機無法直接理解10進制，只能識別高低電平，一般人為設定0為低電平，1為高電平，所以又稱計算機是二進制的。在計算機發展早期，人們要想使用計算機，只能使用計算機看懂的二進制與計算機打交道，如穿孔紙帶，人們使用穿孔紙帶將程序和數據轉換為二進制碼，帶孔為1，無孔為0，計算機讀取并處理完成后，同樣在紙帶上以二進制打孔輸出計算結果，一般人很難操作這種早期計算機，只能是專業人士才能處理二進制的轉換。隨著科技的進步，普通人也能熟練的操作計算機，表面上似乎計算機已經理解了10進制，但是實際上，計算機最底層還是二進制的，這就需要10進制到二進制的自動轉換以及使用二進制進行各種運算。

       10進制到二進制的轉換需要考慮兩方面，第一個是編碼格式，二進制中只有0和1，不同于常用的10進制使用 + 或者 - 符號代表正負數，要想讓二進制只使用1和0代表正負數，需要找到合適的編碼格式；第二個是運算，以加減運算為例，計算機內部是比較復雜的，計算機實現加法運算是很容易的，若直接作減法則比較復雜，需要處理借位等等，內部邏輯組件會增多，所以計算機一般在減去一個數的時候會轉成加上這個被減數的負數，將減法轉換成了加法，即A - B = A + （-B）。所以需要找到一種滿足這兩個方面的編碼，目前10進制轉換成二進制主要有三種方式：原碼、反碼、補碼，下面將從編碼格式和運算兩方面對比這三種編碼格式。

2. 原碼、反碼、補碼

2.1 原碼

       原碼是最簡單也是最直觀的從10進制到二進制的編碼格式，人為規定原碼的最高位為符號位，正數為0，負數為1，其余所有位為10進制數的絕對值。如下面例子：

       原碼的優點是編碼格式對人很友好，類似十進制中的正負號，原碼用最高位0和1分別代碼正負數，很直觀的表示了正負數。但是原碼也有一個很大的缺點，就是無法將減法轉換成加法運算，如：

4 - 2 （10進制）= 4 + （-2）= 0 100 + 1 010  （二進制原碼） = 1110 （二進制原碼）= -6 （10進制）

       上面例子計算4-2，將4-2轉換成4+(-2)并用原碼計算，得出的結果錯誤，原碼雖然很直觀轉換了10進制數，但是計算輸出的原碼值并不正確，所以計算機不能直接使用原碼存儲和計算。

2.2 反碼

       反碼的出現，主要是為了解決原碼無法執行減法運算的問題，人為規定反碼最高位為符號位，正數為0，負數為1，反碼正數與原碼正數格式一致，反碼負數為負數絕對值的原碼按位分別取反，如下面例子：

       反碼的負數編碼格式不像原碼那樣直觀，但是卻可以將減法轉換成加法了，反碼減法規則為：A - B = A + （-B），如果最高位發生了溢位，則需要在最低位加上1，如下面兩個例子：

1）4 - 2 （10進制）= 4 + （-2）= 0 100 + 1 101  （二進制反碼） = 1 0001 （二進制反碼，發生了溢位）=  0001 + 0001（最低位加1） = 0010 （二進制反碼）= 2（10進制）

2）2 - 2 （10進制）= 2 + （-2）= 0 010 + 1 101  （二進制反碼） = 1111 （二進制反碼）=  - 0 （10進制）

       運用反碼減法規則，得到的上面兩個例子的減法結果是正確的，所以計算機是可以使用反碼存儲和計算的，早期的計算機如CDC 6000、LINC、PDP-1等都是使用反碼的，但是反碼也有兩個缺點：1）0有兩種編碼，+0 （0000）和 -0 （1111），在判斷0時，需要分別判斷0000和1111；2）反碼減法的算法規則比較復雜，需要增加計算機內部邏輯組件額外判斷溢位，會影響計算效率。

2.3 補碼

       補碼是現代計算機使用的編碼格式，解決了上面反碼的兩個缺點。正數的補碼與原碼格式相同，負數的補碼是將負數絕對值的原碼分別按位取反，并加1，如下面例子

       補碼的減法規則比較簡單，按照最簡單的轉換公式A-B = A + （-B），當減去一個數時直接轉換成加上被減數的負數即可，不用像反碼那樣額外處理溢位，如下面兩個例子：

1）4 - 2 （10進制）= 4 + （-2）= 0 100 + 1 110  （二進制補碼） = 1 0010 （二進制補碼，發生了溢位，直接丟棄溢位）=  0010（二進制補碼） = 2（10進制）

2）2 - 2 （10進制）= 2 + （-2）= 0 010 + 1 110  （二進制補碼） = 1 0000（二進制補碼，發生了溢位，直接丟棄溢位）=  0000 （二進制補碼） = 0（10進制）

       使用了補碼的加法，上面兩個例子得出的結果都是正確的，相對于反碼，補碼加法更簡單，直接丟棄溢位，不需要針對溢位單獨處理，所以用補碼做運算效率高。雖然補碼運算過程很簡單，但是轉換和運算規則卻很難理解，要弄明白其中的原理，就需要揭開補碼背后的數學奧秘。

3. 加減法

       加減運算有兩種運算方式，一種是普通算術加減法，通常生活中使用的是10進制普通算術加減法；另一種是模N加減法，計算機補碼執行加減運算，則是使用了模N加減法。

3.1 普通算術加減法

       普通算術加減法是我們在生活中一直使用的，也是最簡單和最容易理解的，通常人為使用 + 和 - 符號規定正負數，正數通常省略 + 符號， 如10，20，-10，-20，正負數的加減運算則可以看成是一維運算，如下圖：

       上圖是普通算術加減法示意圖，當執行加法運算時，需要向右移動，比如0+3，在0位置向右移動3位，即為0+3的結果；同樣的，當執行減法運算，向左移動。向左和向右是沒有盡頭的，可以一直移動到正的無窮大或者負的無窮大。普通算術加減法簡單直觀，很容易被人理解，但是對于計算機要實現這樣的算術加減法，既要區分正負數，又要分別實現加減法，設計就會很復雜，效率會很低，所以這套算術加減法并不適用計算機。所以需要找到一種不需要區分正負數就可以實現加減法轉換的規則，那么計算機運行效率就會最高。

3.2 模N加減法

       模N加減法正是不需要區分正負數就可以實現加減法轉換的運算方式，不同于普通算術加減法，它是二維運算，要理解模N加減法比較困難，可以先用生活最典型的時鐘舉例，如下圖：

       上面是生活中常見的時鐘，如果當前時間為凌晨1點，要知道5個小時之后的時間是多少，只需要順時針旋轉5格，指向了6點，即為1+5的結果；如果想知道5個小時之前的時間是多少，需要逆時針旋轉5格，指向晚上8點，即為1-5的結果。時鐘順時針相當于時間向前走，逆時針相當于時間往后走，但是時鐘不會指向無窮大的數，當轉過24個小時（24小時制）又回到了原點。在時鐘轉動中，1-5的最終結果為晚上8點，逆時針旋轉5個小時就可以得到正確結果，同時也可以順時鐘旋轉19個小時（24-5，24小時制），兩種方式旋轉都最終指向了晚上8點。所以任意逆時針旋轉得到的結果都能通過順時鐘旋轉得到，當逆時針旋轉N個小時，與順時針旋轉24-N小時相等，24又稱為模，如果把順時針看成是加法，逆時針看成是減法，那么時鐘旋轉可以看成模24的加減法運算，滿足公式A-m=A+（24-m），即在時鐘任一時刻A點，從A點逆時針旋轉m個小時得到的結果，與從A點順時針旋轉24-m得到的結果一致。模N運算將減法轉換成了加法。

       計算機使用的二進制位數是有限制的，比如4位，8位，16位，64位等等，當數值太大超過最大位數時，會發生溢出，重新歸0，所以計算機的二進制能表示的數不是無窮大的，由于溢出歸零的特點，更像時鐘旋轉，如下圖：

       上圖的四位二進制表示了從0000-1111，當超出1111時，四位已無法表示，會發生溢出，高于四位的位會被丟掉，比如1111加上2等于10001,10001包含五位二進制，最高位1會被丟掉，實際結果為0001，與時鐘運算很相似，相當于在1111順時針旋轉了2個數。在時鐘運算中，將順時針看成加法，逆時針看成減法，那么時鐘運算可以看成是模24的加減法，同理四位二進制也可以看成是模N的加減法，在4位二進制中，轉一圈為2^4=16，所以4位二進制的加減法為模16的加減法，減法很容易的就被轉換成了加法，即滿足模N加減法公式：A-m=A+（16-m）。

       雖然根據模N加減法實現了加減法轉換，但此時又有新的問題，4位二進制只有1和0，是沒有區分正負數的，而人們在計算的時候是要區分正負數的，所以需要人為將部分二進制劃分為負數，另一部分劃分為正數，根據模N加減法公式A-m=A+（16-m），當A為零點時，根據模N加減法公式得到 0-m=0+16-m，即-m=16-m，即將零點A逆時針移動m得到負數m，同時這個負數m也可以從零點A順時針移動16-m得到，零點A可以為上面四位二進制任意一位，比如定義0000或者0001為零點都是可以的，但是為了簡單運算，人為規定0000為零點，0000逆時針方向的為負數，順時針方向的為正數。如在0000逆時針旋轉1個數或者順時針旋轉16-1得到1111，那么1111代表-1，相應的順時針移動一個數為+1，即用0001表示+1；同理在0000逆時針旋轉2個數或者順時針旋轉16-2得到1110，那么1110代表-2，相應的順時針移動兩個數為+2，即用0010表示+2；同理1101和0011分別為-3和+3，1100和0100分別為-4和+4，1011和0101分別為-5和+5，1010和0110分別為-6和+6，1001和0111分別為-7和+7，但是1000比較特殊，0000逆時針旋轉8個數得到1000，所以1000為-8，相應的順時針旋轉8個數也得到了1000，1000既能表示-8又能表示+8，為了不產生沖突，人為規定1000為-8。如下圖：

       上圖中的四位二進制根據模N加減法劃分出了正負數，同理對任意n位二進制，模N等于=2^n，根據上面的模N加減法公式得到-m = N - m = 2^n - m = (2^n -1) - m + 1，最終得到了負數推導公式-m = (2^n -1) - m + 1，（2^n-1）-m即為負數的原碼絕對值按位取反，之后再加上1可以快速得到負數編碼，又稱這種負數編碼為補碼。補碼負數范圍轉換成10進制為 -1 ~ -2^（n-1），正數范圍轉換成10進制為 0 ~ 2^（n-1）-1，所以補碼轉換成10進制為 -2^（n-1） ~ 2^（n-1）-1。

4. 總結

       要想弄清楚補碼，必須要弄清楚補碼要解決的問題，計算機是二進制的，無法直接表示正負數，另外在計算機內部直接實現減法，也會影響計算機效率，所以人們希望要找到一種既能使用二進制表示10進制正負數的編碼格式，同時這種編碼格式又能滿足將減法轉換成加法進行運算，同時滿足這兩個條件有反碼和補碼，但由于反碼中的0有兩個編碼格式，另外反碼加法運算也比較復雜，慢慢地反碼被淘汰了。補碼剛好解決了反碼的兩個缺點，所以補碼成了現代計算機的通用編碼。

       補碼加減法運算不同于常規的算術加減法，補碼使用了模N加減法，要想完全理解補碼，首先要理解模N加減法。

轉自：https://blog.csdn.net/Turnhead/article/details/90902407