FIR數字濾波器的設計

• 線性相位FIR濾波器的特點
  • 單位沖激響應：\(h(n),0\leq n\leq N-1\)
  • 系統函數：\(H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}\)
  • 零極點分布：無窮遠處N-1個零點，z=0處有一個N-1階極點
• 線性相位條件
  線性相位是FIR濾波器的一個優勢，因為FIR濾波器相比于IIR濾波器的階數一般要高很多。
  \(H(e^{j\omega})=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}=\pm|H(e^{j\omega})|e^{j\theta(\omega)}\)
  線性相位是指\(\theta(\omega)\)是\(\omega\)的線性函數。根據它們之間的線性關系，將線性相位分為兩種：正比例；一次函數。
  • 第一類線性相位：\(\theta(\omega)=-\tau\omega\)
    若實序列\(h(n)\)為第一類線性相位，則\(\sum_{n=0}^{N-1}h(n)e^{-j\omega n}=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\cos(\omega n)-j\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\sin(\omega n)=\pm|H(e^{j\omega})|\cos(\omega \tau)\pm j|H(e^{j\omega})|\sin(\omega \tau)\) 于是：\(\tan(\omega\tau)=\frac{\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\sin (\omega n)}{\sum_{n=0}^{N-1}h(n)\cos (\omega n)}\) \(\rightarrow \sum_{n=0}^{N-1}h(n)\sin[(\tau-n)\omega]=0\)
    \[\text{FIR系統滿足線性相位的充要條件}\begin{cases} \text{$\tau=\frac{N-1}{2}$}\\ h(n)=h(N-1-n)\end{cases}$$ ,即h(n)為偶對稱，對稱中心為$\frac{N-1}{2}$ . \]
    同理可得，滿足線性相位的沖要條件\(h(n)=-h(N-1-n),\tau=\frac{N-1}{2},\beta_0=\pm\frac{\pi}{2}\)

窗函數設計法

• 方法及原理
  性能指標\(\rightarrow\)理想低通濾波器的系統函數\(\rightarrow\)反變換時域無限長信號\(\rightarrow\)信號截斷\(\rightarrow\)右移變因果系統。
  線性相位理想低通濾波器的頻率響應(周期連續)為：

  \[H_d(e^{j\omega)})=\begin{cases} e^{-j\omega\alpha}&-\omega_c \leq \omega \leq\omega_c\\ 0&-\pi\leq\omega\leq-\omega_c, \omega_c\leq\omega\leq\pi \end{cases} \]

  經過離散傅里葉反變換對應的序列(非周期離散)為：

  \[h_d(n)=\frac{\omega_c}{\pi}\frac{\sin[\omega_c(n-\alpha)]}{\omega_c(n-\alpha)} \]

  該序列為中心點為\(\alpha\)的偶對稱無限長非因果序列。
  現需要將其轉變為偶對稱有限長因果序列。取矩形窗\(w(n)=R_N(n)\),則FIR濾波器的單位抽樣響應：

  \[h(n)=h_d(n)=\begin{cases} h_d(n) & 0\leq n\leq N-1 \\ 0 & \text{else}\end{cases} \]

  根據第一類線性相位的條件，應有：\(\alpha=\frac{N-1}{2}\),即：

  \[h(n)=\frac{\omega_c}{\pi}\frac{\sin[\omega_c(n-\frac{N-1}{2})]}{\omega_c(n-\frac{N-1}{2})},0\leq n \leq N-1 \]

  FIR濾波器的頻率響應的幅度函數為h(n)的幅度函數與w(n)幅度函數的卷積，即為\(H(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}H_d(\omega)W_R(\omega-\theta)d\theta\),變換的具體過程如下：
  
  可以看做\(W_R(\theta)\)平移\(\omega\)之后在\([-\omega_c,\omega_c]\)內的積分(因為\(H_d(\theta)\)在此區間內為1).

  \(\omega\)	\(H(\omega)\)
  0	近似\(W_R(\theta)\)的全部面積
  \(\omega_c\)	0.5\(H(0)\)
  \(\omega_c-\frac{2\pi}{N}\)	最大，正肩峰
  \(\omega_c+\frac{2\pi}{N}\)	最小，負肩峰
  \(>\omega_c+\frac{2\pi}{N}\)	在零值上下波動
  \(<\omega_c-\frac{2\pi}{N}\)	在\(H(0)\)上下波動

  \(-\frac{2\pi}{N},\frac{2\pi}{N}\)為窗函數頻譜主瓣的兩個零點，主瓣寬度為\(\frac{4\pi}{N}\)。
  從圖中可以看出，FIR濾波器的幅值函數在\(\omega_c\pm\frac{2\pi}{N}\)出現肩峰。改變N值改變主瓣寬度，使過渡帶變得更窄，但是并不能改變正肩峰與負肩峰的相對比例（相對比例由窗函數的形狀決定，此為Gibbs效應）。

• 幾種窗函數的對比

  窗函數	窗譜性能指標		加窗后濾波器性能指標
  	旁瓣峰值幅度/dB	主瓣寬度/(2pi/N)	過渡帶寬△w/(2pi/N)	最小阻帶衰減/dB
  矩形窗	-13	2	0.9	-21
  三角形窗	-25	4	2.1	-25
  漢寧窗	-31	4	3.1	-44
  海明窗	-41	4	3.3	-53
  布萊克曼窗	-57	6	5.5	-74
  凱澤窗(β=8.865)	-57		5	-80

  阻帶最小衰減只由窗函數形狀決定。過渡帶寬與窗形狀和窗寬N都有關。

• 設計步驟

  graph LR A(理想的頻率響應函數及技術指標)-->B(理想的單位抽樣響應) D(根據阻帶衰減選擇窗函數)-->C(根據過渡帶寬度確定N) E(FIR濾波器的單位沖激響應) B-->D C-->E

  技術指標包括：阻帶衰減和過渡帶寬。一般取\(\omega_c\)為通帶截止頻率和阻帶截止頻率的平均值
  從理想的頻率響應函數(\(H_d(e^{j\omega})\))得到理想的單位抽樣響應\(h_d(n)\)，有兩種方法：

  • 公式法
  • IFFT法：對\(H_d\)進行M點IFFT變換，要求M>>N

  最終得到FIR濾波器的h(n)，并求得\(H(e^{j\omega})\)，進行驗證