C。

假設小明最終爬到了第 N 層，這個過程包括了從 1→2, 2→3, ..., 直到 (N-1)→N 的所有攀爬。總共消耗的熱量 C 是所有這些攀爬消耗熱量的總和 C = (10×1) + (10×2) + (10×3) + ... + (10×(N-1))。

可以將公因數 10 提取出來：C = 10 × (1 + 2 + 3 + ... + (N-1))，括號內是一個等差數列求和。根據等差數列求和公式 1+2+...+m = m(m+1)/2，其中 m = N-1，那么 C = 10 × [ (N-1) × ((N-1)+1) / 2 ] = 10 × [ (N-1) × N / 2 ] = 5 × N × (N-1)。

小明想消耗至少 1000 卡熱量，所以需要找到滿足下面不等式的最小整數 N：5 × N × (N-1) ≥ 1000，兩邊同時除以 5，得到 N × (N-1) ≥ 200，解得 N = 15。

B。這是一個遞推問題，可以按照給定的公式一步步計算出結果。

\(f(2) = f(1) + f(1) = 1 + 1 = 2\)

\(f(3) = f(2) + f(1) = 2 + 1 = 3\)

\(f(4) = f(3) + f(2) = 3 + 2 = 5\)

B。可以把這個問題分成兩步。

第一步：找到滿足 \(f(y)=10\) 的最小自然數 \(y\)

這里的 \(y\) 實際上就是 \(f(x)\)。要找一個數 \(y\)，使得它的各位數字之和為 \(10\)。為了讓 \(y\) 最小，應該遵循兩個原則：

1. 位數盡可能少。
2. 高位（左邊的數字）盡可能小。

一位數不可能加起來等于 \(10\)，兩位數可以。要使兩位數最小，十位應該最小。十位最小是 \(1\)，那么個位就是 \(10-1=9\)。因此，滿足 \(f(y)=10\) 的最小自然數 \(y\) 是 \(19\)。

第二步：找到滿足 \(f(x)=19\) 的最小自然數 \(x\)

現在知道了 \(f(x)\) 的值是 \(19\)，需要找到一個數 \(x\)，使得它的各位數字之和為 \(19\)。同樣，為了讓 \(x\) 最小，應該：

1. 位數盡可能少。
2. 高位（左邊的數字）盡可能小。

一位數不可能加起來等于 \(19\)，兩位數的最大數字之和是 \(9+9=18\)，不夠 \(19\)。所以 \(x\) 至少是三位數，要使三位數 \(x\) 最小，它的百位數應該最小。同理可得，這個數是 \(199\)。

C。

定義 \(f_n\) 為從 \(n\) 個蘋果中挑選，允許一個都不選，且不挑選相鄰蘋果的方案數。先包含“一個都不選”的方案，這樣可以使遞推關系更簡潔，最后再減去這個方案。

對于第 \(n\) 個蘋果（最右邊的一個），有兩種選擇：

• 不選第 \(n\) 個蘋果：如果不選它，那么問題就變成了“從剩下的 \(n-1\) 個蘋果中挑選”，方案數就是 \(f_{n-1}\)。
• 選第 \(n\) 個蘋果：如果選了它，根據規則，就不能選第 \(n-1\) 個蘋果。問題就變成了“從前 \(n-2\) 個蘋果中挑選”，方案數就是 \(f_{n-2}\)。

因為這兩個情況是互斥的，所以總方案數是兩者之和：\(f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\)。

這正是斐波那契數列的遞推公式。

對于 \(f_0\)，有 0 個蘋果，只有一種方案，就是“一個都不選”，所以 \(f_0 = 1\)；對于 \(f_1\)，有 1 個蘋果，有兩種方案，“選”或“不選”，所以 \(f_1 = 2\)。

根據遞推式可以算出 \(f_8 = 55\)，這里包含了“一個蘋果都不選”這種情況。題目要求“至少挑選一個蘋果”，因此，需要從總方案數中減去“一個都不選”的那 1 種方案。