牛妹喜歡吃糖，現在有一排共n個糖果，第i個糖果具有一個甜度值αi。因為吃甜食太多了會得蛀牙，所以牛妹吃的糖果的甜度值總和不能超 過k。她可以以任意的順序吃糖，請問她最多能吃多少個糖果？

輸入描述： 第一行給出兩個正整數n，k(1≤n≤2*10的5次冪,1≤k≤10的9次冪），意義如題面所示 第二行有n個整數，分別代表每一個糖果的甜度α(1≤αi≤10的9次冪)

輸出描述： 輸出一行一個整數代表牛妹最多可以吃掉的糖果數。

解法1

這個問題可以通過貪心算法來解決，即優先選擇甜度值最小的糖果，這樣可以盡可能多地吃糖果。

解題步驟

1. 讀取輸入：

   • 第一行讀取兩個正整數 ( n ) 和 ( k )。

   • 第二行讀取 ( n ) 個整數，表示每個糖果的甜度值 ( \alpha_i )。

2. 排序：

   • 將糖果的甜度值從小到大排序。這樣可以優先選擇甜度值最小的糖果。

3. 計算：

   • 初始化一個變量 ( sum ) 表示當前吃掉的糖果的甜度值總和，初始值為0。

   • 初始化一個變量 ( count ) 表示吃掉的糖果數量，初始值為0。

   • 遍歷排序后的糖果甜度值，每次將當前糖果的甜度值加到 ( sum ) 上，如果 ( sum ) 超過 ( k )，則停止遍歷。

   • 每次成功吃掉一個糖果，將 ( count ) 加1。

4. 輸出：

   • 輸出 ( count ) 的值，即牛妹最多能吃掉的糖果數。

代碼實現

# 讀取輸入
n, k = map(int, input().split())
alpha = list(map(int, input().split()))
?
# 排序
alpha.sort()
?
# 計算
sum = 0
count = 0
for i in range(n):
    if sum + alpha[i] <= k:
        sum += alpha[i]
        count += 1
    else:
        break
?
# 輸出
print(count)

復雜度分析

• 時間復雜度：主要消耗在排序上，為 ( O(n \log n) )。

• 空間復雜度：除了輸入數據外，只使用了常數級的額外空間，為 ( O(1) )。

注意事項

• 確保在遍歷糖果甜度值時，一旦 ( sum ) 超過 ( k )，立即停止遍歷，避免不必要的計算。

• 在實際編程中，注意輸入輸出的格式和數據類型的處理，確保與題目要求一致。

通過以上步驟和代碼實現，我們可以得到牛妹最多能吃掉的糖果數。

解法2

這個問題通常可以用動態規劃(Dynamic Programming)或者滑動窗口(Sliding Window)算法來解決。這是一個經典的"0-1背包"問題變種，我們想要找到最大的連續子數組之和不超過給定限制k。我們可以定義一個二維數組dp，其中dpi表示在前i個糖果中，甜度總和不超過j 的情況下，牛妹能夠吃到的最大糖果數。 以下是Python代碼的一個基本實現：

def max Candies(n, k, arr): dp = [[0 for _ in range(k+1)] for _ in range(n+1)]

#初始化邊界條件
for i in range(1, n+1):
    dp[i][0] = 1#動態規劃遍歷數組
?
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, min(i+1, k+1)):

除了貪心算法，這個問題還可以通過動態規劃（Dynamic Programming）的方法來解決。動態規劃適用于解決具有重疊子問題和最優子結構的問題，而這個問題可以看作是一個“0-1背包”問題的變種。

動態規劃解法

1. 定義狀態：

   • 令 ( dpi ) 表示在前 ( i ) 個糖果中，甜度總和不超過 ( j ) 的情況下，牛妹能夠吃到的最大糖果數。

2. 初始化：

   • ( dp0 = 0 ) 對于所有 ( j )，因為沒有糖果時，牛妹無法吃任何糖果。

   • ( dpi = 0 ) 對于所有 ( i )，因為甜度總和為0時，牛妹無法吃任何糖果。

3. 狀態轉移：

   • 對于每個糖果 ( i ) 和每個可能的甜度總和 ( j )，我們有兩種選擇：

     • 不吃第 ( i ) 個糖果：( dpi = dpi-1 )。

     • 吃第 ( i ) 個糖果，前提是 ( j \geq \alpha_i )：( dpi = dpi-1 + 1 )。

   • 我們取這兩種選擇中的最大值：( dpi = \max(dpi-1, dpi-1 + 1) )。

4. 結果：

   • 最終結果是 ( dpn )，表示在 ( n ) 個糖果中，甜度總和不超過 ( k ) 的情況下，牛妹能夠吃到的最大糖果數。

代碼實現

def max_candies(n, k, alpha):
    # 初始化dp數組
    dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)]
    
    # 動態規劃計算
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, k + 1):
            if j >= alpha[i - 1]:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - alpha[i - 1]] + 1)
            else:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
    
    # 返回結果
    return dp[n][k]
?
# 讀取輸入
n, k = map(int, input().split())
alpha = list(map(int, input().split()))
?
# 調用函數并輸出結果
print(max_candies(n, k, alpha))

復雜度分析

• 時間復雜度：( O(nk) )，其中 ( n ) 是糖果的數量，( k ) 是甜度總和的限制。

• 空間復雜度：( O(nk) )，用于存儲動態規劃表。

注意事項

• 動態規劃解法在 ( n ) 和 ( k ) 較大時可能會導致時間和空間復雜度較高，因此在實際應用中需要權衡。

• 在實現時，注意邊界條件的處理，確保不會出現索引越界的情況。

通過以上步驟和代碼實現，我們可以得到牛妹最多能吃掉的糖果數，同時滿足時間限制和內存限制。