古代學習幾何是通過公理體系的角度去學習，好處是：

• 通過幾條公理和公設和邏輯推理就能證明和驗證其它定理；
• 數形結合思想，提供另一個看待事物的視角能力；
• 對復雜事物的拆分和分析能力；
• 即使是復雜的定理，解構之后，發現都是一些簡單設定的堆積；

萬物從一些簡單的元素開始。

元素

從一個點開始，點動成線，線動成面。

線由不同的運動，分為：

• 直線
• 曲線
• 復合線（多根線組成，相交線、平行線...）
• 切線

兩條線的不同擺放方式，分為：

• 平行
• 相交

線通過旋轉的方式，可以生成圖形：

• 角（固定一端，移動一端）
• 正方形、長方形（平移）
• 圓形（固定一端，移動一周）
• 復合圖形（多個角、正方形、圓形組合而成）

角根據旋轉的幅度可以分為：

• 銳角
• 直角
• 鈍角
• 平角

5條公設和5條公理

古人積累了最公共的5條最基礎的一般性共性，和5條適用于整個平面幾何體系的一般性共性：

公理（一般性公理）：

1. 等同于相同事物的事物會相互等同。
   如果a=b，b=c，
   那么a=c；

2. 若等同物加上等同物，則整體會相等。
   如果a=b，c=d，
   那么a+c=b+d;

3. 若等同物減去等同物，則其差會相等。
   如果a=b，c=d，
   那么a-c=b-d;

4. 相互重合的事物會相互等同。
   彼此能重合的物體（圖形）是全等的;

5. 整體大于部分。

公設(也叫幾何公理)：

1. 兩點確定一條直線。
   

2. 直線可以無限延長。
   

3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
   

4. 所有直角相等。
   

5. 若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內角之和小于兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。
   

第五公設的解釋：

若一條直線與兩條直線相交，并且它們在某一側的內角和小于兩個直角（即小于180度），那么這兩條直線在各自延長后，在內角和小于兩個直角的一側相交。

內角就是三線八角中的同旁內角。

定理的證明

《幾何原本》里面記錄了一些經典的定理。

第一卷：基礎幾何（三角形、全等、平行線）

這是整個體系的基石，大部分定理在今天的初中幾何中仍然常見。

基礎部分：

1. 命題1：在給定線段上作一個等邊三角形。
   • 這是全書第一個命題，展示了如何用圓規和直尺進行基本作圖。
2. 命題4：（邊角邊定理） 如果兩個三角形有兩邊及其夾角對應相等，那么這兩個三角形全等。
   • 這是第一個關于三角形全等的判定定理，是整個全等理論的基礎。
3. 命題5：（等腰三角形定理） 在等腰三角形中，兩底角相等。
   • 這是一個非常基礎且重要的定理，其證明本身（“驢橋定理”）就很有名。
4. 命題15：（對頂角定理） 如果兩條直線相交，則它們形成的對頂角相等。
   • 極其直觀且常用的定理。

平行線理論（核心）：
5. 命題27/28/29：平行線的判定和性質。這組定理確立了與平行線相關的內錯角、同位角、同旁內角之間的關系。
* 命題27：如果一條直線與兩條直線相交，所成的內錯角相等，則這兩條直線平行。
* 命題29：一條直線與兩條平行線相交，則內錯角相等，同位角相等，同旁內角互補。
* 這是平行線理論的基石，命題29的證明必須依賴于著名的第五公設（平行公設）。
6. 命題32：三角形內角和定理 三角形的三個內角之和等于兩個直角（180°）。
* 這是一個里程碑式的定理，其證明依賴于平行線性質（命題29），因此也依賴于第五公設。
7. 命題47/48：勾股定理及其逆定理
* 命題47：在直角三角形中，斜邊上的正方形面積等于兩直角邊上的正方形面積之和。（勾股定理）
* 命題48：如果三角形一邊上的正方形面積等于其他兩邊上的正方形面積之和，則這兩邊所夾的角是直角。（勾股定理的逆定理）
* 這是《幾何原本》中最高光的成就之一，歐幾里得用了著名的“新娘的椅子”圖來證明。

第二卷：幾何代數學

這一卷用幾何圖形來表述代數恒等式，在當時沒有代數字符系統的情況下非常重要。

常見定理（幾何化的代數）：
8. 命題1：如果有一條直線被分成兩段，那么這條直線為一邊的矩形面積等于各小段為一邊的矩形面積之和。
* 幾何上表示：a(b+c+d) = ab + ac + ad。
9. 命題4/5/6：完全平方公式和平方差公式的幾何表達。
* 命題4：(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
* 命題5：(a+b)(a-b) + b2 = a2 （黃金分割相關）
10. 命題11：分割線段成中外比（黃金分割）。
* 將一條線段分成兩部分，使得整體與較大部分之比等于較大部分與較小部分之比。

第三、四卷：圓與正多邊形

這部分專注于圓的性質和圓內/外接圖形的作圖。

常見定理：
11. 命題III.20：圓心角定理 在一個圓中，同一弧所對的圓心角是圓周角的兩倍。
* 這個定理是很多后續圓定理的基礎。
12. 命題III.31：（泰勒斯定理） 半圓上的圓周角是直角。
* 這是圓心角定理的一個特例，但非常著名和有用。
13. 命題III.35：如果圓內有兩條弦相交，則一條弦被分成的兩段的乘積等于另一條弦被分成的兩段的乘積。
* 這是“相交弦定理”的雛形。
14. 命題IV：正多邊形的作圖。包括如何在圓內接或外切正五邊形、六邊形、十邊形等。這些作圖問題非常精妙。

第五卷：比例理論

這是《幾何原本》邏輯體系的巔峰，由歐多克索斯提出，其嚴謹性甚至可以處理無理數。它不依賴于幾何形狀，是一套通用的比例理論。

核心概念（與其說是定理，不如說是精確定義）：
15. 比例的定義（定義5）：這是整個比例理論的基石。它用“量”的倍數來定義四個量成比例，巧妙地避開了對無理數的直接討論。
* 簡單說，如果 a:b = c:d，那么對于任意正整數 m, n，都有：
* 若 ma > nb，則 mc > nd
* 若 ma = nb，則 mc = nd
* 若 ma < nb，則 mc < nd
16. 命題V.16：（更比定理） 如果 a:b = c:d，那么 a:c = b:d。
17. 命題V.22：（合比定理） 如果 a:b = c:d，那么 (a+b):b = (c+d):d。

第六卷：相似圖形

將第五卷的比例理論應用到幾何圖形上，從而發展出相似理論。

常見定理：
18. 命題VI.2：（平行線分線段成比例定理） 如果一條直線平行于三角形的一邊，則它截另外兩邊成比例線段。
* 這是相似三角形證明中最常用的定理。
19. 命題VI.4/5：相似三角形的判定定理。
* 命題VI.4：如果兩個三角形的對應角相等，則它們的對應邊成比例（兩角對應相等）。
* 命題VI.5：如果兩個三角形的對應邊成比例，則它們的對應角相等（三邊對應成比例）。
20. 命題VI.8：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。
21. 命題VI.19：（相似圖形面積比定理） 相似三角形的面積之比等于其對應邊之比的平方。
* 這個定理可以推廣到所有相似多邊形。

公理體系的缺點

代數運算允許我們使用公式和算法來解決問題，而不依賴于直觀的幾何圖形。這使得問題更容易被計算機處理，也更容易推廣到更高維空間。

向量作為幾何和代數之間的橋梁，通過坐標表示和運算規則，將幾何問題轉化為代數問題。

這種轉換不僅簡化了問題，還擴展了數學的應用范圍，在現代工程中已經成為標準工具一般使用。