2.1廣義符號和相關的置信區間

非參數檢驗是在不知道總體分布的情況下所做的檢驗，符號檢驗是最簡單的非參數檢驗

2.1.1 分位點檢驗

eg2.1，對城市花費指數進行分位點檢驗，按升序如下：
27.8 27.8 29.1 32.2 32.7 36.4 36.5 37.5 37.7 38.8 41.9 45.2 45.8 46.0 47.6 48.2 49.9 51.8 52.7 54.9 55.0 55.3 55.5 58.2 60.8 62.7 63.5 64.6 65.3 65.3 65.3 65.4 66.2 66.7 67.7 71.2 71.7 73.9 74.3 74.5 76.2 76.6 76.8 77.7 77.9 79.1 80.9 81.0 82.6 85.7 86.2 86.4 89.4 89.5 90.3 90.8 91.8 92.8 95.2 97.5 98.2 99.1 99.3 100.0 100.6 104.6 105.0 109.4 122.4
有人說64是他的中位數，有人說64是他的下分位數。由于樣本中位數67.7，下分位數50.85，因此需要對兩個位置參數進行檢驗

使用R語言進行檢驗如下

x <- c(27.8, 27.8, 29.1, 32.2, 32.7, 36.4, 36.5, 37.5, 37.7, 38.8, 41.9, 45.2, 45.8, 
46.0, 47.6, 48.2, 49.9, 51.8, 52.7, 54.9, 55.0, 55.3, 55.5, 58.2, 60.8, 62.7, 63.5, 
64.6, 65.3, 65.3, 65.3, 65.4, 66.2, 66.7, 67.7, 71.2, 71.7, 73.9, 74.3, 74.5, 76.2,
76.6, 76.8, 77.7, 77.9, 79.1, 80.9, 81.0, 82.6, 85.7, 86.2, 86.4, 89.4, 89.5, 90.3, 
90.8, 91.8, 92.8, 95.2, 97.5, 98.2, 99.1, 99.3 ,100.0, 100.6, 104.6, 105.0, 109.4, 122.4)
sign.test(x,0.5,64)

2.2 Wilcoxon符號秩檢驗，點估計和區間估計

2.2.1 Wilcoxon符號秩檢驗

由于廣義符號檢驗只是考慮了觀測值與原假設的中心位置之差的符號來進行檢驗，但是沒有利用這些差的大小。因此，在符號檢驗中，每個觀測值點的正號或負號僅代表了該點在中心位置的哪一邊，而并沒有表明該點距離中心的遠近。因此wilcoxon檢驗就是將其位置遠近引入，把觀測值和原假設的中心位置之差的絕對值的秩分別按不同符號相加作為其檢驗統計量。
具體步驟如下：
（1）$對i=1,...,n計算|X_i?M_0|，他們代表這些樣本點到M_0的距離$
（2）$將上述得到的n個值進行排序，并找出相對應的秩$
（3）$W^{+}等于X_i?M_0大于0的秩的和，W^{?}代表小于0的秩的和$
（4）$在雙邊檢驗中，取min{W}^{+},W^{?}，對于單邊檢驗,根據相應的方向取對應的統計量$
（5）差Wilcoxon統計表得到最終結果。

2.3Cox-Stuart趨勢檢驗

趨勢檢驗與前面相似，一共有三種檢驗：
（1）$H_0:無增長趨勢，H_1:有增長趨勢$
（2）$H_0:無減少趨勢，H_1:有減少趨勢$
（3）$H_0:無趨勢，H_1:有增長或減少趨勢$
進行檢驗的方式與符號檢驗類似：首先將樣本分為兩組，分別用$D_i=x_i?x_{i+c}$的符號來衡量增減，之后便以符號檢驗的方式進行檢驗即可。

2.4隨機性的游程檢驗

首先回想一下伯努利實驗，實驗的結果是0和1的，如果這個實驗是隨機的，那么不太可能出現很多1或很多0連在一起，也不太可能出現0和1交替出現的太頻繁。因此考慮游程實驗進行分析。首先定義一下游程：連在一起的0或1被稱為游程。例如：
000111100011100
這里就出現了三個0游程，2個1游程，這里一共就為5個游程（R=5）,其中0的總個數為8（m）個，1的總個數為7（n）個。總實驗次數為N=m+n。
當然，并不是原始數據為0和1才可以做游程實驗，當我們要檢驗一批數據的中位數是否為某個值時，可以用大于該值的定為1，小于該值的定為0，再進行游程實驗。具體公式：

參考書籍：非參數統計第四版.吳喜之.趙博娟編著