格羅騰迪克去世后的宣傳讓一些非數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了這樣的疑問：他到底做了什么？我在其他地方寫了一個(gè)答案，人們似乎覺得很有參考價(jià)值，所以我把它保存在這里供后人參考。

這篇文章是我所能做到的最非技術(shù)性的。格羅騰迪克的工作技術(shù)性很強(qiáng)，即使以現(xiàn)代抽象數(shù)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)來看也是如此，所以我的描述，如果你是善意的，那就是高度的印象主義，如果你不是善意的，那就是在許多主要細(xì)節(jié)上是錯(cuò)誤的。我也只討論了方案和魏爾猜想，這只是格羅騰迪克著名的一部分。

自笛卡爾以來，數(shù)學(xué)研究的一個(gè)主要課題是理解多項(xiàng)式方程的解。笛卡爾觀察到，雖然尋找解是一個(gè)代數(shù)的問題，但當(dāng)你把所有的解放在一起看時(shí)，你就進(jìn)入了幾何學(xué)的領(lǐng)域。例如，X2+Y2=1的解的集合是一個(gè)圓。

一個(gè)或多個(gè)多項(xiàng)式方程的解的集合被稱為一個(gè)品種，對(duì)這種東西的研究被稱為代數(shù)幾何。

最初，代數(shù)幾何涉及實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的解。(通常是復(fù)數(shù)，因?yàn)檫@更容易，因?yàn)槟憧梢宰杂傻厝∑椒礁龋槐負(fù)?dān)心符號(hào)問題）。但是，你需要的唯一定義是，你可以加、減和乘。(一個(gè)可以加減乘的集合被稱為環(huán)。

因此，格羅騰迪克著手將代數(shù)幾何推廣到任意的環(huán)。他對(duì)多樣性的概括被稱為 "方案"。有趣的是，如果你從一個(gè)品種開始（在復(fù)數(shù)上），有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的方法可以將一個(gè)環(huán)與之聯(lián)系起來，在這種情況下，格羅騰迪克的構(gòu)造并沒有給你帶來任何新的東西。對(duì)于其他種類的環(huán)，你才會(huì)得到新的東西。所以在品種和環(huán)之間有一個(gè)部分的字典，而方案在字典中是缺失的條目。

環(huán)的另一個(gè)例子是整數(shù)--你可以對(duì)整數(shù)進(jìn)行加減和相乘。在這里，方案的概念抓住了一個(gè)奇怪的想法，可以追溯到19世紀(jì)。整數(shù)的方案由每個(gè)質(zhì)數(shù)的一個(gè)點(diǎn)組成。所以你可以把整數(shù)想象成一條直線上的2、3、5、7......的點(diǎn)，而不是其他地方。(物理學(xué)家會(huì)在9處多加一個(gè)點(diǎn)，而格羅騰迪克本人會(huì)在57處多加一個(gè)點(diǎn)）。因此，方案與數(shù)論自然相關(guān)，事實(shí)上，它有助于證明數(shù)論中的定理，如費(fèi)馬最后定理。

再來說說魏氏猜想。想想鐘表算術(shù)。你可以在鐘面上加、減、乘以小時(shí)或分鐘。在每一種情況下，你都用普通的數(shù)字做算術(shù)，然后你扔掉12的倍數(shù)（對(duì)于小時(shí)）或60（對(duì)于分鐘）。這種拋開倍數(shù)的操作被稱為 "模 "運(yùn)算。所以7乘以2調(diào)制12就是2。

還有一些其他的 "模 "運(yùn)算法則的例子，你可能在不知道的情況下使用過。取一個(gè)數(shù)字的最后一個(gè)數(shù)字與該數(shù)字的模數(shù)10相同。所以1234的模數(shù)是4。一個(gè)數(shù)字的數(shù)字相加與模數(shù)9相同。如果你學(xué)會(huì)了通過數(shù)字相加來檢查一個(gè)數(shù)字是否是3的倍數(shù)的技巧，你實(shí)際上是在做模數(shù)9。

模數(shù)N的數(shù)字給了你另一個(gè)環(huán)——你可以對(duì)模數(shù)N進(jìn)行加減或乘法，這就給了你另一個(gè)模數(shù)N的數(shù)字。

模數(shù)N的好處是，它們的數(shù)量有限。它們?cè)跀?shù)論中也很有用。比方說，你想知道某個(gè)整數(shù)上的多項(xiàng)式方程是否有解--比如X3+Y3=Z3。一個(gè)簡單的檢查是看是否有任何解決方案，如果沒有，那么就根本沒有任何解決方案。因此，數(shù)論的一個(gè)有趣的問題是，有多少個(gè)解是以N為模數(shù)的？

安德烈-韋爾（他的妹妹是西蒙-韋爾）猜想了一種解的模數(shù)的公式，他通過一個(gè)牽強(qiáng)的拓?fù)鋵W(xué)類比來實(shí)現(xiàn)。

以一個(gè)圓盤（一個(gè)被填滿的圓）為例，考慮該圓盤到其本身的連續(xù)映射。連續(xù)映射的一個(gè)例子是旋轉(zhuǎn)，即圍繞圓盤的中間旋轉(zhuǎn)。你圍繞它旋轉(zhuǎn)的那一點(diǎn)是一個(gè)固定點(diǎn)--它不會(huì)移動(dòng)。你可以證明（這是一個(gè)很難的定理），每一個(gè)連續(xù)地圖都必須有至少一個(gè)固定點(diǎn)。有一個(gè)更通用的公式，叫做Leftschetz固定點(diǎn)公式，它允許你計(jì)算一般的固定點(diǎn)的數(shù)量（對(duì)于比圓盤更復(fù)雜的形狀）。

對(duì)于整數(shù)模數(shù)N，你可以做加減法和乘法，但你不能總是做除法，也不能總是做取平方根這樣的事情。(這里，如果x*x是y的模數(shù)，那么x就是y的模數(shù)的平方根，所以3是2的平方根，模數(shù)為7。很奇怪，是吧？）

除法問題很容易解決--只要讓N是一個(gè)素?cái)?shù)。根的問題比較難解決，因?yàn)榧词筃是素?cái)?shù)，有些數(shù)字也沒有平方根、立方根等。解決方案是在N的基礎(chǔ)上增加 "虛數(shù)"，就像我們?cè)黾觟、-1的平方根來得到復(fù)數(shù)一樣。復(fù)數(shù)有一個(gè)定義在它們身上的操作，叫做共軛，它把i送到-i。有一個(gè)類似的操作，叫做弗羅比紐斯自變量。

韋爾說，我們假設(shè)對(duì)N的運(yùn)算是一種空間，那么我們就可以應(yīng)用列夫謝茲定點(diǎn)定理，并計(jì)算解的數(shù)量。這是一個(gè)完全牽強(qiáng)的神學(xué)，因?yàn)檫@里沒有幾何學(xué)。

這就是方案的作用。方案提供了缺失的幾何學(xué)。格羅騰迪克展示了如何將拓?fù)鋵W(xué)技術(shù)推廣到這一環(huán)境中，從而可以證明萊夫謝茲定點(diǎn)定理的一個(gè)版本，以解決魏爾猜想。該證明是荒謬的、抽象的，但它與一個(gè)相對(duì)具體的問題有關(guān)。(不幸的是，猜想給你的公式它本身就有點(diǎn)難用，所以我不知道有什么簡單的解釋，但我認(rèn)為它在編碼理論和密碼學(xué)中確實(shí)有一些現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用)。