\(\verb!I!\)

兩個不同的點 \(A(x_1,y_1)\) 和 \(B(x_2,y_2)\)，其中 \(x_1,y_1,x_2,y_2\in\mathbb{Z}\)，令 \(l_1=|x_1-x_2|,l_2=|y_1-y_2|\)，那么 \(AB\) 這條線段上的整點個數為 \(\gcd(l_1,l_2)+1\) 個（含點 \(A,B\)）。

\(\verb!II!\)

令 \(V\) 表示一個連通圖的邊集、\(V^\prime\) 表示該圖最小生成樹（任意一種情況）的邊集、\(w(u,v)\) 表示 \((u,v)\) 這條邊的邊權，如果 \((x,y)\in\complement_V V^\prime\)，那么最小生成樹上的路徑 \(x\rightarrow y\) 上的邊的邊權一定都小于或等于 \(w(x,y)\)。

\(\verb!III!\)

一棵樹如果想變成一個邊雙連通的圖，那么至少需要加 \(\lfloor\dfrac{cnt+1}{2}\rfloor\) 條邊，其中 \(cnt\) 表示度數為 \(1\) 的點的數量。

例題：[USACO06JAN] Redundant Paths G

\(\verb!IV!\)

如果一個點雙連通分量中有一個奇環，那么這個點雙連通分量上的所有點都在某個奇環上。

例題：KNIGHTS - Knights of the Round Table