【RAY TRACING THE REST OF YOUR LIFE 超詳解】光線追蹤 3-7 混合概率密度

Mixture Densities

Preface

注：鑒于很多網站隨意爬取數據，可能導致內容殘缺以及引用失效等問題，影響閱讀，請認準原創網址：

http://www.rzrgm.cn/lv-anchoret/category/1368696.html

我們這節主要講把之前的概率密度做混合，以得到更好的效果

我們上一篇以前經常用關于cos函數的pdf，上一節用的是與光源采樣相關的pdf，那么，我們把兩者結合到一起，協調它們之間的比例，我們就可以得到一個有著兩種概率密度模型的pdf，這往往是更貼近生活的，那么我們今天就來學習測試一下。

Ready

這一節就是把前幾篇的概率密度做混合，所以，需要的就是熟悉之前的內容。

當然，之前的框架代碼也比較丑，基本都是在lerp函數里面做調整，所以，我們順便把框架搭得更好一點

正文

我們都知道，設計pdf的一個很重要的原則就是使得累積概率密度達到且只達到1,所以，我們先采用一種非常簡單的比例協調方式混合兩個pdf。

例如我們有如下的混合密度方程

pdf_mixture(direction) = 1/2 * pdf_reflection(direction) + 1/2 * pdf_light(direction)

即，兩者各占一半

要實現兩者，代碼描述也很簡單：

if ( rand01() < 0.5 )
    pdf_reflection();  ...
else
    pdf_light();  ...

但是評估pdf_mixture會稍微有點微妙。我們需要同時評估pdf_reflection和pdf_light，因為有一些方向可以生成pdf方向。例如，我們可以使用pdf_reflection生成朝向光的方向

如果我們回顧之前的內容，你會發現，這一部分主要解決兩個問題：

1.此處的pdf函數值

2.按照某個隨機模型產生一個隨機數

我們抽象出這些操作之后，就可以寫一個關于我們的pdf的一個基類：

///pdf.hpp

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [ time ]        2019.3
// [brief ]        In the Monte Carlo system, pdf acts as the
//                most important element of Important-Sample
// -----------------------------------------------------


#pragma once


namespace rt
{

// the basic class of pdf system
class pdf
    {
public:
    /*
    @brief: we get the value of pdf function by this interface
    @param: the direction of location
    @retur: the value of the pdf function
    */
    virtual rtvar value(const rtvec & direction)const = 0;

    /*
    @brief: generate a random number with a Probability model
    @param: none
    @retur: the Three-dimensional random vector
    */
    virtual rtvec generate()const = 0;
    };


}//rt namespace

我們來實現關于它的一些子類

首先我們來實現關于cosine 概率密度的模型

///cosine_pdf.hpp

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [ time ]        2019.3
// [brief ]        one of the pdf' forms
// -----------------------------------------------------


#pragma once


namespace rt
{

class cosine_pdf :public pdf
    {
public:
    //constructor
    cosine_pdf(const rtvec& w);            

    /*
    @brief: we get the value of pdf function by this interface
    @param:    the direction of location
    @retur: the value of the pdf function
    */
    virtual rtvar value(const rtvec& direction)const;


    /*
    @brief: generate a random number with a Probability model
    @param: none
    @retur:    the Three-dimensional random vector
    */
    virtual rtvec generate()const;

private:

    onb _uvw;
    };

inline cosine_pdf::cosine_pdf(const rtvec& w)
    {
    _uvw.build_from_w(w);
    }

rtvar cosine_pdf::value(const rtvec& direction)const
    {
    rtvar cosine = dot(direction.ret_unitization(), _uvw.w());
    if (cosine > 0.)
        return cosine / π;
    else
        return 0.;
    }

rtvec cosine_pdf::generate()const
    {
    return _uvw.local(random_cosine_direction());
    }
}

這個模型之前細說過，cosine大于0的時候返回cosine/π，反之，則返回0。因為光線反射之后如果和表面法線的夾角為鈍角的時候，違反反射規律，不以反射。生成隨機數的那個之前也講過，在上上一篇

其實這些都不是新東西，就是把之前講的的那一套整合了一下

得到結果也就是之前的效果

我們把主函數里面的lerp（）也改一下

每個像素點采樣100次，取均值，即sample 為 100時

這是代碼敲錯了，意外得到的一張圖

現在我們嘗試，光源采樣，即

///hit_pdf.hpp

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [ time ]        2019.3
// [brief ]        toward to the hitable
// -----------------------------------------------------

#pragma once


namespace rt
{

class hit_pdf :public pdf
    {
public:

    /*
    @param: info -> Geometry information
            origion -> the point of intersection
    */
    hit_pdf(intersect* info, const rtvec& origion)
        :_intersectp(info)
        ,_o(origion)
    {
    }


    /*
    @brief: we get the value of pdf function by this interface
    @param:    the direction of location
    @retur: the value of the pdf function
    */
    virtual rtvar value(const rtvec& direction)const
        {
        return _intersectp->pdf_value(_o, direction);
        }
    

    /*
    @brief: generate a random number with a Probability model
    @param: none
    @retur:    the Three-dimensional random vector
    */
    virtual rtvec generate()const
        {
        return _intersectp->random(_o);
        }

private:
        
    rtvec _o;

    intersect * _intersectp;
    };

}// rt namespace

對應的intersect類也要改一下

/// intersect.hpp
//http://www.rzrgm.cn/lv-anchoret/p/10190092.html
// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [begin ]        2018.12
// [refre ]        2019.3
// [brief ]        the intersect-class for the ray-tracing project
//                from the 《ray tracing in one week》
// -----------------------------------------------------

#pragma once

#include "E:\OpenGL\光線追蹤\code\ray tracing 1-3\ray tracing 1-3\ray.hpp"


namespace rt
{
class material;
class aabb;


// the infomation of intersection point

struct hitInfo
    {
    lvgm::precision _t;        //ray 中的系數t
    rtvec _p;                //相交點、撞擊點
    rtvec _n;                //_p點的表面法線
    material* _materialp;    //材質
    rtvar _u;                //texture-u
    rtvar _v;                //texture-v
    };


// the statement of intersect class

class intersect
    {
public:

    /*
    @brief: 撞擊函數，求取撞擊點相關記錄信息
    @param: sight->視線
    系數t的上下界->篩選撞擊點
    info->返回撞擊點信息
    @retur: 是否存在合法撞擊點
    */
    virtual bool hit(const ray& sight, rtvar t_min, rtvar t_max, hitInfo& info)const = 0;

    /*
    @brief: get the box of Geometry
    */
    virtual aabb getbox()const = 0;

    /*
    Get the value of pdf function
    */
    virtual rtvar pdf_value(const rtvec& o, const rtvec& v)const
        {
        return 0.;
        }

    /*
    generate the random number
    */
    virtual rtvec random(const rtvec& o)const
        {
        return rtvec(1, 0, 0);
        }


    };

}// rt namespace

因為我們現在只是拿區域光源做實驗，并不是所有的幾何體派生類都要繼承pdf相關的方法，所以，它們兩個以虛函數的形式存在即可。

那么就剩下xz長方形了

rtvar xz_rect::pdf_value(const rtvec& o, const rtvec& v)const
    {
    hitInfo rec;
    if (this->hit(ray(o, v), 1e-3, rt::rtInf(), rec))
        {
        rtvar area = (_x2 - _x1)*(_z2 - _z1);
        rtvar distance_squared = rec._t * rec._t * v.squar();
        rtvar cosine = fabs(dot(v, rec._n) / v.normal());
        return distance_squared / (cosine*area);
        }
    else
        return 0.;
    }

rtvec xz_rect::random(const rtvec& o)const
    {
    rtvec random_point = rtvec(_x1 + lvgm::rand01() * (_x2 - _x1), _other, _z1 + lvgm::rand01()*(_z2 - _z1));
    return random_point - o;
    }

把上一篇寫在lerp函數里面的一大堆東西整合到類里面

那么我們的lerp就統一化了：

我們取sample為10，即可得到很好的效果：

現在我們將寫一個關于混合概率密度的類：

///mixture_pdf.hpp

// -----------------------------------------------------
// [author]        lv
// [ time ]        2019.3
// [brief ]        mixture pdfs
// -----------------------------------------------------


#pragma once


namespace rt
{

class mixture_pdf :public pdf
    {
public:

    mixture_pdf(pdf * p1, pdf* p2)
        {
        _p[0] = p1;
        _p[1] = p2;
        }


    /*
    @brief: we get the value of pdf function by this interface
    @param:    the direction of location
    @retur: the value of the pdf function
    */
    virtual rtvar value(const rtvec& direction)const
        {
        return 0.5*_p[0]->value(direction) + 0.5*_p[1]->value(direction);
        }


    /*
    @brief: generate a random number with a Probability model
    @param: none
    @retur:    the Three-dimensional random vector
    */
    virtual rtvec generate()const
        {
        if (lvgm::rand01() < 0.5)
            return _p[0]->generate();
        else
            return _p[1]->generate();
        }

private:

    pdf* _p[2];

    };


}// rt namespace