回憶中學(xué)的函數(shù)

這篇文章，帶你一次性回顧中學(xué)時(shí)代里的那些函數(shù)。如果對(duì)初中、高中的函數(shù)還記憶模糊，建議往下翻一翻。

一、函數(shù)的意義

如果說(shuō)，學(xué)數(shù)學(xué)的核心就在于學(xué)習(xí)函數(shù)，應(yīng)該沒(méi)有人會(huì)不同意吧。

數(shù)學(xué)應(yīng)用的目的是求解現(xiàn)實(shí)中的各種問(wèn)題，其中，為了模擬這種 "已知 xxx， 那么xxx" 論述的過(guò)程，函數(shù)是最重要的形式。通俗點(diǎn)說(shuō)，函數(shù)就像一個(gè)“機(jī)器”：你輸入一個(gè)值，它按照規(guī)則處理后輸出一個(gè)結(jié)果

函數(shù)的定義通常記為：

其中，x 叫自變量，y 是因變量，大致的意思就是 y 隨著 x 的變化而變化，或者說(shuō) y 的取值和 x 離不開(kāi)干系。

那么 f(x) 描述的就是這種關(guān)系本身，即通過(guò) x 要怎樣推斷出 y 的值。

要素

嚴(yán)格說(shuō)，函數(shù)包含三個(gè)要素，如下面的示例函數(shù)：

• 要素1， 定義域， x 的取值范圍，如 \(x \in \mathbb{R}\)
• 要素2， 值域，y 也就是 f(x) 的結(jié)果取值范圍， 如 \(y \in \mathbb{R}\)
• 要素3， 計(jì)算法則，即 f(x) 公式本身

特征

既然函數(shù)描述了數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，而現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景中數(shù)據(jù)的關(guān)系會(huì)存在一些規(guī)律，這些規(guī)律通過(guò)圖像特征也能夠直觀的看出。一些常見(jiàn)的規(guī)律就包括：

單調(diào)性

函數(shù)單調(diào)性描述的是函數(shù)值隨著自變量的變大是變大還是變小，如單調(diào)遞增或遞減。

舉例：我們的愿望是，?? 工資和自己工作年限的關(guān)系是單調(diào)遞增，工作越久，工資越高。

奇偶性

奇偶性描述的是函數(shù)在正負(fù)方向上的對(duì)稱(chēng)性，例如當(dāng)x為2和-2時(shí)，y=4則為偶函數(shù)，若y=4和-4則為奇函數(shù)

舉例：我是一面鏡子，也是一個(gè)偶函數(shù)。

對(duì)稱(chēng)性

函數(shù)圖像是否在某個(gè)軸或點(diǎn)上呈現(xiàn)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，可以認(rèn)為奇偶性是特殊的對(duì)稱(chēng)性。

舉例：蝴蝶的翅膀是左右對(duì)稱(chēng)的。

周期性

周期性表示函數(shù)的圖像或數(shù)值每隔一段時(shí)間，會(huì)重復(fù)一次

舉例：鐘表的指針運(yùn)動(dòng)、日出日落、心跳波形等等。

二、初階函數(shù)

1. 一次函數(shù)

一次函數(shù)的公式如下：

• k 是斜率（不能為 0），表示函數(shù)的變化速度；
• b 是常數(shù)，表示圖像在 y 軸上的截距。

當(dāng) b = 0 時(shí)，函數(shù)變?yōu)?y = kx，是一個(gè)正比例函數(shù)。

在幾何上，一次函數(shù)是一條直線，如下：

函數(shù)特征

應(yīng)用示例

假定你是一家小商店老板，需要做整體成本計(jì)算

• 表達(dá)式：\(y =5x+100\)
• 含義：x 代表 每件商品成本為 5 元，固定成本為 100 元。

2. 反比例函數(shù)

反比例函數(shù)的公式如下：

• k 是常數(shù)，且 \(x≠0\)

反比例函數(shù)的圖像是一條雙曲線，如下：

當(dāng) k > 0 時(shí)，圖像位于第一象限和第三象限；

當(dāng) k < 0 時(shí)，圖像位于第二象限和第四象限。

函數(shù)特征

應(yīng)用示例

.工廠作業(yè)時(shí)，計(jì)算工作效率與時(shí)間的關(guān)系

• 表達(dá)式：\(y = \frac{10}{x}\)
• 含義：完成同一任務(wù)所需時(shí)間 y 與工人數(shù) x 成反比。
• 舉例：10人完成任務(wù)需1小時(shí)，5人則需2小時(shí)。

3. 二次函數(shù)

二次函數(shù)的公式如下：

• \(a \neq 0\)，否則退化為一次函數(shù)；
• b, c 為常數(shù)。

二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，如下：

掌握二次函數(shù)需要理解判別式：

判別式的符號(hào)與二次函數(shù)的圖像特征有特定的關(guān)系，如下所示：

函數(shù)特征

應(yīng)用示例

拋體運(yùn)動(dòng)高度計(jì)算，物體在豎直方向上，高度隨時(shí)間變化的關(guān)系。

• 表達(dá)式：\(y = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + h_0\)

• 含義： g 是重力，v0 是初始速度，h0 是初始高度。

三、高階函數(shù)

4. 指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的公式如下：

其中：

• a 是底數(shù)，必須為正且不等于 1；
• 函數(shù)值 y 是底數(shù) a 的 x 次冪。

指數(shù)函數(shù)的圖像是一條光滑曲線，如下：

函數(shù)特征

應(yīng)用示例

金融場(chǎng)景下，利用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行復(fù)利計(jì)算：

• 表達(dá)式：\(A = P(1 + r)^n\)
• 含義：本金 P 在利率 r 下經(jīng)過(guò) n 期后的總額。

5. 對(duì)數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)可看作是指數(shù)函數(shù)的反過(guò)程，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義如下：

• 底數(shù) a 的多少次冪等于 x，即 \(a^y = x\)
• a是底數(shù)，必須為正且不等于 1
• x 是正數(shù)，必須大于 0
• y 是以 a 為底的 x 的對(duì)數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像是一條光滑曲線，和相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)沿著 y=x 直線呈對(duì)稱(chēng)關(guān)系，如下：

函數(shù)特征

應(yīng)用示例

碳-14測(cè)年法（Carbon-14 dating）是一種非常重要的放射性同位素測(cè)定技術(shù)，可用來(lái)估算有機(jī)遺骸的年代。

當(dāng)生物死亡后，它就不再吸收碳，體內(nèi)的 \(^{14}C\) 開(kāi)始以固定速率衰減。通過(guò)測(cè)量遺骸中剩余的 \(^{14}C\) 含量，就可以推算出死亡時(shí)間。

• 表達(dá)式：\(N=N_0?e^{?λt}\)，推出 \(t = \frac{1}{\lambda} \log_e \left( \frac{N_0}{N} \right)\)
• 含義： N0 是初始碳-14量值，N 是當(dāng)前值，λ 衰變常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)。

6. 冪函數(shù)

冪函數(shù)的公式如下：

• a 是常數(shù)（通常為系數(shù)）；
• n 是冪指數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)甚至無(wú)理數(shù)；
• 當(dāng) a = 1 時(shí)，函數(shù)簡(jiǎn)化為 \(f(x) = x^n\)，這是最常見(jiàn)的形式。

從幾何上看，冪函數(shù)的圖像形狀隨指數(shù) n 的不同而變化顯著，如下：

函數(shù)特征

應(yīng)用示例

電功率公式：\(P = I^2 R\)

• 含義：其中 I是電流，R 是電阻。

• 說(shuō)明：該公式基于歐姆定律和功率公式結(jié)合得出，用于適用于電阻器、電熱器等純電阻負(fù)載的計(jì)算。

7. 絕對(duì)函數(shù)

絕對(duì)函數(shù)的公式如下：

• ∣x∣表示數(shù) x 到原點(diǎn)的距離；
• 當(dāng) \(x \geq 0\)，∣x∣=x；
• 當(dāng) \(x<0\)，|x| = -x。

絕對(duì)函數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)分段函數(shù)，在圖像上是一條“V” 型折線，如下：

函數(shù)特征

應(yīng)用示例

在評(píng)估傳感器數(shù)值的準(zhǔn)確度時(shí)，經(jīng)常會(huì)使用 MAE 方法進(jìn)行誤差分析

• 表達(dá)式：\(\text{MAE} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\text{測(cè)量值}_i - \text{真實(shí)值}_i|\)
• 含義：將多次歷史數(shù)據(jù)的測(cè)量值與真實(shí)值之間的誤差進(jìn)行平均計(jì)算，得到評(píng)估的準(zhǔn)確度。

8. Sigmoid函數(shù)

Sigmoid 函數(shù)（也稱(chēng)為 Logistic 函數(shù)）是一種收斂函數(shù)，適用于解決概率建模和二分類(lèi)問(wèn)題，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的激活函數(shù)。

Sigmoid 函數(shù)的定義如下：

• e 是自然常數(shù)（約等于 2.718）；
• 輸出值\(f(x) \in (0, 1)\)，即將任意實(shí)數(shù)壓縮到 0 到 1 的區(qū)間。

從幾何上看，Sigmoid 函數(shù)是一個(gè)值介于0和1之間的漸進(jìn)式曲線，如下：

函數(shù)特征

應(yīng)用示例

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)激活函數(shù)

• 用于隱藏層或輸出層，將神經(jīng)元輸出壓縮到 (0,1)(0, 1) 區(qū)間；
• 舉例：在二分類(lèi)問(wèn)題中，輸出值可解釋為屬于正類(lèi)的概率。

9. 三角函數(shù)

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中用于描述角與邊之間關(guān)系的基本函數(shù)，廣泛應(yīng)用于幾何、物理、工程、天文等領(lǐng)域。

三角函數(shù)的公式如下：

函數(shù)特征

應(yīng)用示例

物理振動(dòng)建模，使用正弦波的數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述物體振動(dòng)隨時(shí)間變化的波動(dòng)情況。

• 表達(dá)式：\(x(t) = A \sin(\omega t + \phi)\)
• 含義：\(\omega 是角頻率（波動(dòng)的快慢），t 是時(shí)間，\phi 是初始偏移，A 是振幅\)。
• 舉例：\(x(t)=5sin?(2πt)，振幅為5米，\omega = 2\pi，即頻率為 1 Hz(每秒一周期)，初始偏移為0\)

小結(jié)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教材的主要學(xué)習(xí)和考試內(nèi)容，它同時(shí)也有著大量的實(shí)際場(chǎng)景應(yīng)用。在機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)領(lǐng)域，存在不少以函數(shù)為基礎(chǔ)的理論研究和實(shí)踐。但不幸的是，對(duì)大部分職場(chǎng)老鳥(niǎo)來(lái)說(shuō)，這些內(nèi)容因時(shí)間和職業(yè)方向關(guān)系早已不再熟悉。本文對(duì)早期常見(jiàn)的一些基礎(chǔ)函數(shù)做了整理，旨在幫助快速回顧并建立一些基礎(chǔ)知識(shí)印象。