矩陣的計算和應用

在前面關于機器學習中的數學表示一文中提到了矩陣，實際上它是計算機領域非常重要的一種數據結構，但除了CV類（計算機視覺）開發，我們在許多軟件開發場景中卻很少用到它，以至于開始慶幸：

"反正在以前線性代數也沒怎么學好，作用也不大嘛..."

"按說，這種觀點是要受批評的。"

實際上關于矩陣的計算到處都是，只是你鮮少留意罷了?；蛘哒f，當你在使用某個三方庫的時候，它里面已經幫你做好高度封裝，讓你不再顧及里面的細節..

一、矩陣是什么

矩陣可以看做是向量的維度延伸，也就是一個二維數組。

矩陣的數學表示為\(x \in \mathbb{R}^{m*n}\)，其中m和n分別代表行和列，其展開的形式如下：

如果矩陣A = 矩陣B，那么那么 A 和 B 的行列結構，以及每個對應位置的元素都是相等的。

特殊的矩陣

• 矩陣為 1*n，只有一行，稱為行向量

• 矩陣為 n*1，只有一列，稱為列向量

• 矩陣為 n*n，行列相同，稱為方陣

二、基本計算

2.1 矩陣加法

對于兩個 \(m \times n\) 矩陣 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\)

其和 \(\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B}\) 的元素 \(c_{ij}\) 為： $$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$

示例

給定矩陣 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\)：

應用場景

在圖像處理中，圖像可以表示為一個像素矩陣。將兩張圖像進行融合時，可以通過矩陣加法實現。

融合圖像=圖像A+圖像B

在醫學影像中，CT 和 MRI 圖像可以通過矩陣加法融合，幫助醫生更全面地觀察病灶。

2.2 矩陣減法

對于兩個 \(m \times n\) 矩陣 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\)

其差 \(\mathbf{C} = \mathbf{A} - \mathbf{B}\) 的元素 \(c_{ij}\) 為：\(c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}\)

示例

給定矩陣 \(\mathbf{A}\) 和 \(\mathbf{B}\)：

應用場景

在安防監控中，連續幀圖像之間的差異可以通過矩陣減法計算：

變化矩陣=當前幀A?前一幀B

如果差異矩陣中某些區域值顯著變化，說明畫面中可能出現了移動物體或異常行為。

2.3 矩陣常量乘法

對于一個常數 \(k\) 和一個 \(m \times n\) 矩陣 \(\mathbf{A}\)

其積 \(\mathbf{C} = k\mathbf{A}\) 的元素 \(c_{ij}\) 為：\(c_{ij} = k \cdot a_{ij}\)

示例

給定矩陣 \(\mathbf{A}\) 和常數 \(k=3\)：

應用場景

在圖像處理中，調整圖像亮度可以通過對像素矩陣乘以一個常數：

亮度增強圖像=k?原圖像矩陣,

這會使圖像整體變亮，常用于圖像增強和預處理。

除此之外，在深度學習中，模型的權重矩陣常常需要乘以一個縮放因子（如學習率、正則化系數）來控制訓練過程。

2.4 矩陣乘積

設矩陣 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)，矩陣\(B \in \mathbb{R}^{n \times p}\)，則它們的乘積為：\(C = AB 是一個 m \times p\) 的矩陣。

矩陣 A 和 B可相乘的條件是，A的列數與 B的行數必須相同。乘積 C 的行數與A相同，列數與B相同。

示例

對于乘積 C來說，每個元素 \(c_{ij} 是矩陣 AA 的第 ii 行與矩陣 BB 的第 jj 列的點積：\)

規律

• 乘法不滿足交換律： 一般情況下 AB≠BA（特殊情況除外）

• 乘法滿足結合律與分配律：

  • A(BC)=(AB)CA(BC) = (AB)C
  • A(B+C)=AB+AC

單位矩陣

單位矩陣（Identity Matrix） 是一種特殊的方陣，其主對角線上的元素全為 1，其余元素全為 0。

單位矩陣記做$ I_n$，對于任意矩陣 \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)，有：

比如，一個 3*3 的單位矩陣，計算過程如下：

2.5 矩陣轉置

矩陣的轉置是將矩陣的行列互換，記作 \(A^T\)。 如果矩陣 \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\)，則其轉置 \(A^T∈\mathbb{R}^{n×m}\)

矩陣轉置有許多計算意義，例如在圖像處理中，圖像可以表示為一個像素矩陣。 將圖像矩陣進行轉置，可以實現圖像的90°旋轉（配合行列反轉）。

應用場景

假設你管理一家公司，銷售三種產品：T恤、褲子和鞋子。你有三個銷售渠道：實體店A、實體店B 和網上商店?，F在，你記錄了周一和周二在每個渠道的每種產品的具體銷量。同時，這些產品的價格在不同日期可能會有微調。

我們的目標是計算出每個渠道在周一和周二分別獲得了多少總收入。

1. 銷量矩陣（A）

這個矩陣記錄了每個渠道在周一和周二的每種產品銷量。

• 列代表了銷售渠道（從左到右依次為：實體店A，實體店B，網上商店）。
• 行代表了產品種類。

2. 價格矩陣（B）

這個矩陣記錄了三種產品在周一和周二的價格。

• 行代表了產品種類。
• 列代表了日期（周一，周二）。

3. 矩陣乘法

要計算每個渠道在兩天的總收入，我們將銷量矩陣（A）轉置，然后與價格矩陣（B）相乘，即 \(C=A^TB\)。

4. 計算過程與結果

5. 結果分析

新的結果矩陣清晰地顯示了每個渠道在每一天的總收入：

• 第一行 [3900, 3865]：實體店A 周一總收入為 3900，周二為 3865。
• 第二行 [4700, 4540]：實體店B 周一總收入為 4700，周二為 4540。
• 第三行 [4700, 4599]：網上商店 周一總收入為 4700，周二為 4599。

2.6 Hadamard乘積

矩陣的 Hadamard 乘積，也稱為元素級乘積（element-wise product），是一種特殊的矩陣運算。與矩陣乘法不同，Hadamard 乘積不涉及行與列的點積，而是將兩個相同結構的矩陣中對應位置的元素直接相乘，然后將結果組成一個新的矩陣。

如果兩個矩陣 A 和 B 的維度都是 m×n，它們的 Hadamard 積 \(C=A⊙B\) 的每個元素 \(c_{ij}\) 滿足：

Hadamard 乘積常用于需要對數據進行逐元素加權或篩選的場景。

應用場景

在圖像處理中，圖像數據通常以矩陣形式存儲，矩陣中的每個元素代表一個像素的亮度或顏色值。這時可以使用 Hadamard 乘積來實現圖像遮罩效果，只保留圖像中感興趣的區域。

假設你有一張黑白照片，并想把照片中某一部分變暗或去除。你可以創建一個遮罩矩陣。

• 圖像矩陣 (A)： 一個表示圖像像素值的矩陣，例如一個 3x3 矩陣。

  \[\text{A} = \begin{bmatrix} 200 & 210 & 205 \\ 180 & 190 & 185 \\ 150 & 160 & 155 \end{bmatrix} \]

• 遮罩矩陣 (B)： 一個與圖像矩陣同維度的矩陣，其中你想保留的區域元素為1，想遮蓋或變暗的區域元素為0或接近0的值。

  \[B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

• Hadamard 積 (C=A⊙B)： 將兩個矩陣逐元素相乘，結果是新的圖像矩陣。

  \[\text{C} = \begin{bmatrix} 200\times1 & 210\times1 & 205\times1 \\ 180\times0 & 190\times0 & 185\times0 \\ 150\times0 & 160\times0 & 155\times0 \end{bmatrix} \]
  \[\text{C} = \begin{bmatrix} 200 & 210 & 205 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

最終結果是只保留了圖像上半部分的像素，下半部分像素值變為0（全黑），這樣便可以實現了圖像的局部處理功能。

三、小試牛刀

下面使用 numpy 來實現本文提到的這些矩陣運算，包括：加法、減法、常量乘法、矩陣乘積、單位矩陣初始化，以及 Hadamard（元素乘）乘積。

代碼示例

import numpy as np

# 初始化兩個矩陣 A 和 B（3x3）
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

B = np.array([[9, 8, 7],
              [6, 5, 4],
              [3, 2, 1]])

# 1?? 矩陣加法
add_result = A + B

# 2?? 矩陣減法
sub_result = A - B

# 3?? 常量乘法（例如 k = 2）
k = 2
scalar_mul_result = k * A

# 4?? 矩陣乘積（矩陣乘法）
dot_result = np.dot(A, B)

# 5?? 單位矩陣初始化（3x3）
identity_matrix = np.eye(3)

# 6?? Hadamard 乘積（元素乘法）
hadamard_result = A * B

# 輸出結果
print("矩陣 A:\n", A)
print("矩陣 B:\n", B)
print("矩陣加法 A + B:\n", add_result)
print("矩陣減法 A - B:\n", sub_result)
print("常量乘法 k * A:\n", scalar_mul_result)
print("矩陣乘積 A * B:\n", dot_result)
print("單位矩陣 I:\n", identity_matrix)
print("Hadamard 乘積 A HM B:\n", hadamard_result)

執行上述程序，輸出結果如下：

矩陣 A:
 [[1 2 3]
 [4 5 6]
 [7 8 9]]
矩陣 B:
 [[9 8 7]
 [6 5 4]
 [3 2 1]]
矩陣加法 A + B:
 [[10 10 10]
 [10 10 10]
 [10 10 10]]
矩陣減法 A - B:
 [[-8 -6 -4]
 [-2  0  2]
 [ 4  6  8]]
常量乘法 k * A:
 [[ 2  4  6]
 [ 8 10 12]
 [14 16 18]]
矩陣乘積 A * B:
 [[ 30  24  18]
 [ 84  69  54]
 [138 114  90]]
單位矩陣 I:
 [[1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]]
Hadamard 乘積 A HM B:
 [[ 9 16 21]
 [24 25 24]
 [21 16  9]]

四、小結

這篇文章介紹了矩陣的一些基本特征和運算方法，算是對數學不好的小伙伴做個回憶和科普吧，矩陣在機器學習中是一個重要基礎，實際上很多的算法都來源于數學應用。關于矩陣的更高階的一些特性，后面還會繼續更新。