矩陣的秩和逆
秩
定義
矩陣的秩用以描述各列向量或行向量當中線性無關的向量數
求法
通過高斯消元法利用矩陣的線性變換，將每一列或行盡可能多的制造出零的前導
當出現剩余部分全為零或者沒有零行出現時，非零行數或列數即為矩陣的秩
例如
\[\begin{align*}
A &= \begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&6&8\end{bmatrix} \\
& \xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3-3r_1} \begin{bmatrix}\boxed{1}&2&3\\0&0&\boxed{1}\\0&0&-1\end{bmatrix} \\
& \xrightarrow{r_3+r_2} \begin{bmatrix}\boxed{1}&2&3\\0&0&\boxed{1}\\0&0&0\end{bmatrix} \\
\text{rank}(A) &= 2
\end{align*}\]
原理
通過線性變換將各個列向量進行有目的的自由組合拆去某一維分量，當該維分量全部拆解完畢后，所余下的就是他的矩陣的秩，也就是線性無關的向量數
逆
定義
矩陣的逆也就是使用這一個矩陣對原矩陣進行操作后，得到單位矩陣的矩陣。可以做到類似于除法的效果
\[AA^{-1}=E
\]
求法
線性變換
我們通常使用行線性變換
我們利用線性變換的特點，也就是任意一個矩陣都可以看作，單位矩陣經過線性變換后得到的結果。
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