四元數(shù)-Quaterion

1843年，William Rowan Hamilton發(fā)明了四元數(shù)，但直到1985年才有一個(gè)叫Ken Shoemake的人將四元數(shù)引入計(jì)算機(jī)圖形學(xué)處理領(lǐng)域。四元數(shù)在3D圖形學(xué)中主要用于旋轉(zhuǎn)，骨骼動(dòng)畫等。簡(jiǎn)單地來說，四元數(shù)描述了一次旋轉(zhuǎn)：繞任意一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度。四元數(shù)的定義形式：(w, x, y, z)。假如，繞軸向量v(_x,_y,_z)正向（右手旋轉(zhuǎn)法則）旋轉(zhuǎn)角度p，則對(duì)應(yīng)得四元數(shù)q為： q = (cos(p/2), sin(p/2) * _x, sin(p/2) * _y, sin(p/2) * _z)

四元數(shù)(Quaterion)

羅朝輝 (http://www.rzrgm.cn/kesalin/)

本文遵循“署名-非商業(yè)用途-保持一致”創(chuàng)作公用協(xié)議

1843年，William Rowan Hamilton發(fā)明了四元數(shù)，但直到1985年才有一個(gè)叫Ken Shoemake的人將四元數(shù)引入計(jì)算機(jī)圖形學(xué)處理領(lǐng)域。四元數(shù)在3D圖形學(xué)中主要用于旋轉(zhuǎn)，骨骼動(dòng)畫等。簡(jiǎn)單地來說，四元數(shù)描述了一次旋轉(zhuǎn)：繞任意一個(gè)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度。

四元數(shù)的定義形式：(w, x, y, z)。假如，繞軸向量v(_x,_y,_z)正向（右手旋轉(zhuǎn)法則）旋轉(zhuǎn)角度p，則對(duì)應(yīng)得四元數(shù)q為：

q = (cos(p/2), sin(p/2) * _x, sin(p/2) * _y, sin(p/2) * _z)

用四元數(shù)來表示旋轉(zhuǎn)，不如用歐拉角（偏航/yaw，俯仰/pitch，橫滾/ roll）來表示直接，但是用歐拉角來處理旋轉(zhuǎn)有個(gè)不可回避的問題：萬向節(jié)死鎖。我們可以通過將歐拉角轉(zhuǎn)換到四元數(shù)來避免這個(gè)問題，一次將3個(gè)歐拉角變換到獨(dú)立的3個(gè)四元數(shù)，然后將這3個(gè)四元數(shù)相乘就可以得到最終的旋轉(zhuǎn)四元數(shù)。

Qx = (cos(yaw/2), sin(yaw/2), 0, 0)

Qy = (cos(pitch/2), 0, sin(pitch/2), 0)

Qz = (cos(roll/2), 0, 0, sin(roll/2)

Q = Qx * Qy * Qz

在DirectX中提供了從歐拉角到四元數(shù)，從四元數(shù)到矩陣（Direct3D用旋轉(zhuǎn)來實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)）的變換函數(shù)。下面參看：/Microsoft DirectX SDK/Include/d3dx9math.h的函數(shù)聲明

從四元數(shù)變換到軸與旋轉(zhuǎn)角

// Compute a quaternin's axis and angle of rotation. Expects unit quaternions.

void WINAPI D3DXQuaternionToAxisAngle

( CONST D3DXQUATERNION *pQ, D3DXVECTOR3 *pAxis, FLOAT *pAngle );

從旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)造一個(gè)四元數(shù)

// Build a quaternion from a rotation matrix.

D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationMatrix

( D3DXQUATERNION *pOut, CONST D3DXMATRIX *pM);

從一個(gè)軸與旋轉(zhuǎn)角構(gòu)造一個(gè)四元數(shù)

// Rotation about arbitrary axis.

D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationAxis

( D3DXQUATERNION *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV, FLOAT Angle );

從歐拉角構(gòu)造一個(gè)四元數(shù)

// Yaw around the Y axis, a pitch around the X axis,

// and a roll around the Z axis.

D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationYawPitchRoll

( D3DXQUATERNION *pOut, FLOAT Yaw, FLOAT Pitch, FLOAT Roll );

下面我們來看看如何使用：若某物體要繞Y軸旋轉(zhuǎn)fYaw，繞X軸旋轉(zhuǎn)fPitch，繞Z軸旋轉(zhuǎn)fRoll，那么對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矩陣matRot可以這么計(jì)算：

D3DXQUATERNION qR;

D3DXMATRIX matRot;

D3DXQuaternionRotationYawPitchRoll(&qR, fYaw, fPitch, fRoll);

D3DXMatrixRotationQuaternion(&matRot, &qR);

有關(guān)四元數(shù)更詳細(xì)的數(shù)學(xué)計(jì)算，轉(zhuǎn)換過程可以參考下面的鏈接：

http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/realNormedAlgebra/quaternions/index.htm

posted @ 2008-03-16 13:51 飄飄白云閱讀(1270) 評(píng)論(0) 收藏舉報(bào)

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