一、概述?

高斯：近代數學之父、磁場單位，微分之父、幾何學之父、測量之父、地圖之父。

數學表示具有再現性和客觀性，數學是自然科學的基礎。

牛頓：stand on the shoulders of giants.

學數學：要通過解決數學問題，鍛煉“思考體力”。

思考體力：①自我驅動力 ②多段思考力 ③質疑力 ④大局力 ⑤場合分辨力 ⑥躍升力。

即使到了AI可以替代人類工作的時代，我們人類也應該鍛煉自己的思考體力。

邏輯：數學、語文底層是相通的；心算和數學不算是一回事。

數學三個領域：代數、幾何、函數

初中數學中的思考方法：

把“不知”設為未知數，然后尋找未知數與已知數之間的關系和規則，這是解決問題的基本思維方式。

二次方程式：  ax2+bx+c=0

二次方程式又是初中數學中最強的大boss。如果把這個大boss打敗了，初中數學基本上就可以通關了

二、二次方程式(初中數學的大boss)?

ax2+bx+c=0

1. 負數的減法

減去一個負數，如1-(-1)，可以把它變成加法1+1。

2. 打敗二次方程的利器

• 負數乘法：負x負=正，負x正=負；
• 平方根

3. 乘法分配律： a*(b+c)=ab+ac

4. 定理：

• 任何數乘以1都得它本身；
• 任何數乘以0都得0；
• 負數x負數 = 正數
• 負數x正數 = 負數

5. 移項：把等號一側的數字或整式，移動到等號另一側的時候，要改變運算符號。

6. 解一元二次方程

• 平方根法

  像 x2=ɑ 這種簡單的一元二次方程式，可以用平方根法來解。

• 分解因式法:

拿一元二次方程式 x2+bx+c=0 來舉例。如果有兩個數相乘得b、相加得c的話，那么x2+ɑx+b=0 就可以分解因式

1. 先看零次項，舉出所有零次項的約數組合；
2. 從列出的約數組合中尋找，有沒有哪組數相加等于一次項的系數。

• 配平方法

  

• 記公式

  

三、二次函數?

1. 方程式與函數的區別

   • 方程式→在特定條件下，求x(未知數)的值。
   • 函數→表示關系本身(在指定了條件的情況下，就變成了方程式)。

2. 函數的斜率，在高中就叫作“微分系數(導數)”

3. 圖像：一次函數圖像是直線，二次函數圖像是曲線。

4. 二次函數的解法

   ax2+bx+c=0

• a決定開口方向。

  • a > 0 ，拋物線開口朝上(正U形)；
  • a < 0 ，拋物線開口朝下(倒U形)。
  • 我們只看曲線的右半部分，如果a是正數，這部分就是不斷上升的；如果a是負數，這部分就是不斷下降的。 

• 參數c決定函數曲線上下的位置。 

• 參數b決定左右移動二次函數的左右移動

 

5. 一元二次方程為什么有兩個解?

除了頂點外，每個一元二次方程的y值都對應兩個解，比如$y = 4$就是一條平行于x軸的直線，它與拋物線有兩個交點，所以有兩個解。

6. 反比例

反比例函數的曲線，想與x軸和y軸相交，但永遠不能相交，只能無限接近。

四、幾何--三角形?

點→線→面

1. 勾股定理(畢達哥拉斯定理)：  直角三角形的斜邊的平方等于兩個直角邊的平方之和。

a2 + b2 = c2

證明:

• 讓四個相同的直角三角形拼接

• 大四邊形：四條邊都是a + b ，且四個角都是直角；
• 小四邊形：四條邊都是c，那么四個角是直角嗎?

三角形內角和180，所以 ∠A+∠B+∠C=180°,已知∠A=90°，推出∠B+∠C=90° 平角是180°，所以∠B+∠C+∠x=180 °,推出 ∠x=90 ° 綜上，可以得出 大四邊形和小四邊形都是正方形。

• 大正方形的面積 = 4*直角三角形面積+小正方形面積

（a+b）2=4x(ab/2)+c2

a2+b2+2ab=2ab+c2

最終得出：a2+b2=c2

2. 內錯角、同位角、對頂角

兩條相交直線構成的角，相對的兩個角互為對頂角，且角的大小相同。

兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。

兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。

小竅門：學習幾何就要學會畫輔助線，比如延長線、平行線、垂線等 先找內錯角，再找同位角，最后找對頂角。這樣一來，不管是多難的圖形題，你都能找到靈感。

3. 圖形相似

兩個圖形放大或者縮小到同樣的大小，是完全相同的圖形，這兩個圖形就是相似關系。

垂線：從直角頂點作一條與斜邊垂直的線

圖中的小三角形①②都和大直角三角形相似。

三角形相似條件:

• 三個內角的度數都分別相等。
• 相對應的三條邊的比例一樣。
• 相對應的兩條邊的比例一樣，且這兩條邊的夾角的度數相等。

根據相似三角形證明勾股定理:

4. 關于輔助線

“不管有沒有用，先把輔助線畫出來再說!”這種不怕失敗的挑戰精神，是解決圖形問題的關鍵。

〈輔助線的畫法〉:① 垂線② 線段長度平分線③ 角平分線④ 平行線 

5. 圓周角

內接三角形：3個頂點都在圓上。

圓周角定理

①以圓心為頂點形成的角，其度數是∠A的2倍。

②圓的內接四邊形，相對的兩角的度數之和一定等于180度。

證明: ∠1=2∠A，∠2=2∠D ∠1+∠2=360 °=>2（∠A+∠D)=360 °=> ∠A+∠D=180 °

③圓的內接三角形，如果有一條邊穿過圓心，那么這個三角形一定是直角三角形。

④圓的內接四邊形，相對的兩個角的度數之和一定等于90度。

6. 圓冪定理

兩個頂點在圓周上、一個頂點在圓外的三角形，和由其兩邊與圓的交點、圓外頂點所組成的小三角形相似。

△ADE和△ABC相似

證明: ∠ADE=180 ° -∠BDE=180 °-(180 °- ∠C)= ∠C, 而且兩個三角形公用 ∠A，所以三個角度數都相等，△ADE和△ABC相似。

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