itdef

https://vjudge.csgrandeur.cn/problem/UVA-10006

　當今計算機科學的一個重要的領域就是密碼學。有些人甚至認為密碼學是計算機科學中唯一重要的領域，沒有密碼學生命都沒有意義。
　　阿爾瓦羅就是這樣的一個人，它正在設計一個為西班牙雜燴菜飯加密的步驟。他在加密算法中應用了一些非常大的素數(shù)。
  然而確認一個非常大的數(shù)是不是素數(shù)并不是那么簡單。一個費時的方法是用比這個數(shù)的平方根小的所有素數(shù)去除它，
  對于大整數(shù)來說，這樣一定會毀掉這個雜燴菜飯的。
　　然而，一些很有信心耗時少的隨機測試存在，其中一個就是費馬測試。
　　在2和n-1之間隨機選取一個數(shù)（n是我們要測試的數(shù)）。如果a^n mod n = a 成立，n就可能是一個素數(shù)。
　　如果一個數(shù)通過費馬測試很多次那么它就很可能是一個素數(shù)。
　　不幸的是，一些數(shù)不是素數(shù)但是它們依然能通過每一個比它小的數(shù)的費馬測試。這些數(shù)被稱作卡邁克爾數(shù)
　　這道題要求你寫一個程序去測試給定的數(shù)是不是一個卡邁克爾數(shù)。
　　完成了這個任務的隊伍有希望接受來自阿爾瓦羅的西班牙雜燴菜飯23333

Input
多組輸入，第一行給一個n （2 < n < 65000) 。n = 0 表示輸入結束并不需要處理
Output
對每組輸入，輸出它是不是卡邁克爾數(shù)，參考樣例。

Sample Input
1729
17
561
1109
431
0

Sample Output
The number 1729 is a Carmichael number.
17 is normal.
The number 561 is a Carmichael number.
1109 is normal.
431 is normal.

解答
題意是找出一些和素數(shù)性質類似，但是不是素數(shù)的卡米爾數(shù)。
對于一個數(shù)n， 如果2和n-1之間的數(shù)a（n是我們要測試的數(shù)）。a^n mod n = a 均成立，n就可能是一個素數(shù)。
如果n不是素數(shù)，他就是卡米爾數(shù)

那么我們先打表 記錄數(shù)據(jù)范圍內所有的素數(shù)，然后保證n在表里面，逐個檢測2和n-1 是否符合a^n mod n = a .
就可以判斷是不是卡米爾數(shù)了。 a^n使用快速冪計算。
代碼如下

#include <iostream>
#include <unordered_set>

using namespace std;


int n;
unordered_set<int> ss;
const int N = 65010;
int primes[N], cnt;
bool st[N];

void get_primes(int t) {
	for (int i = 2; i <= t; i++) {
		if (!st[i]) {
			primes[cnt++] = i;
			ss.insert(i);
		}
		for (int j = 0; primes[j] <= t / i; j++) {
			st[primes[j] * i] = true;
			if (i % primes[j] == 0) break;
		}
	}
}

int quickmi(long long a, long long b, long long m) {
	long long ans = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) {
			ans = ans * a % m;
		}
		b >>= 1;
		a = a * a % m;
	}

	return ans;
}

void solve() {
	if (ss.count(n) != 0) {
		cout << n << " is normal." << endl;
		return;
	}

	for (int i = 2; i < n; i++) {
		if (quickmi(i, n, n) != i) {
			cout << n << " is normal." << endl;
			return;
		}
	}

	cout << "The number "<< n<< " is a Carmichael number." << endl;
	return;
}

int main()
{
	get_primes(N);
	while (cin >> n) {
		if (0 == n) break;
		solve();
	}

	return 0;
}