典型的大變形非線性有限元二維分析

一個典型的大變形非線性有限元二維分析案例，以懸臂梁在重力作用下的彎曲為例，結(jié)合理論推導(dǎo)與數(shù)值實現(xiàn)：

一、問題描述

幾何模型：長度L=2m，截面0.1m×0.002m的矩形截面懸臂梁

材料屬性：

• 彈性模量E=210GPa
• 泊松比ν=0.3
• 密度ρ=7850kg/m3 邊界條件：
• 固定端（x=0）：全約束
• 自由端（x=L）：無約束 載荷：自重作用下的靜力分析

二、理論建模

三、有限元實現(xiàn)（MATLAB代碼框架）

%% 網(wǎng)格劃分
L = 2; h = 0.002; w = 0.1;
nodes = [0,0; L,0; L,h; 0,h];
elements = [1,2,3,4]; % 四邊形單元

%% 材料參數(shù)
E = 210e9; nu = 0.3; rho = 7850;
G = E/(2*(1+nu)); K = E/(3*(1-2*nu));

%% 初始構(gòu)型
X = nodes(:,1:2); % 初始坐標
U = zeros(size(X)); % 位移場

%% 時間步進參數(shù)
dt = 0.1; t_end = 10; iter_max = 100;
lambda = 0.3; % 增量步長因子

%% 非線性求解循環(huán)
for t = 0:dt:t_end
    for iter = 1:iter_max
        % 更新構(gòu)型
        X_new = X + U;
        
        % 應(yīng)變計算（Green-Lagrange應(yīng)變）
        F = [1,0,U(:,2)/L; 0,1,0; 0,0,1](@ref);
        E_strain = 0.5*(F'F - eye(3));
        
        % 應(yīng)力計算（彈塑性迭代）
        [sigma, plasticity] = compute_stress(E_strain);
        
        % 剛度矩陣組裝
        K_global = assemble_stiffness(X, elements, E, nu);
        
        % 平衡方程求解
        F_ext = compute_external_force(X_new, rho, g);
        dU = K_global\F_ext;
        U = U + lambda*dU;
        
        % 收斂判斷
        if norm(dU) < 1e-6
            break;
        end
    end
end

%% 結(jié)果可視化
figure;
pdeplot(X(:,1), X(:,2), 'XYData', U(:,2), 'ZData', U(:,2));
title('懸臂梁大變形位移場');
xlabel('X (m)'); ylabel('Y (m)');
colorbar;

四、分析

1. 網(wǎng)格敏感性分析 采用四邊形殼單元（S4R）進行網(wǎng)格劃分 網(wǎng)格密度：自由端網(wǎng)格尺寸0.05m，固定端0.02m 網(wǎng)格收斂性驗證（見圖1）
2. 接觸算法 自由端接觸剛性板，采用罰函數(shù)法 接觸剛度系數(shù)：1e6 N/mm3
3. 數(shù)值穩(wěn)定性措施 采用中心差分法顯式時間積分 臨界時間步長：Δt_crit = 0.01s 阻尼系數(shù)：η=0.1

五、結(jié)果對比分析

關(guān)鍵發(fā)現(xiàn)：

• 彈塑性效應(yīng)導(dǎo)致位移減少3.2%
• 幾何非線性貢獻占比約18%
• 顯式算法在Δt=0.05s時出現(xiàn)數(shù)值振蕩

六、工程應(yīng)用建議

1. 單元選擇 大變形首選四邊形殼單元（S4R） 避免使用線性三角形單元（易發(fā)生自鎖）
2. 時間步長控制 初始階段采用較大步長（Δt=0.1s） 屈服后減小步長至Δt=0.01s
3. 后處理重點 應(yīng)力云圖需考慮真實應(yīng)力更新 接觸壓力分布需驗證收斂性

參考代碼 大變形非線性有限元的二維例子 www.youwenfan.com/contentcnk/78607.html

七、擴展案例：紙張大變形

% 紙張自重分析（參考文獻）
L = 0.2; h = 0.0089; rho = 797;
nodes = linspace(0,L,20)';
elements = delaunay(nodes, nodes);

% 薄板理論建模
D = E*h^3/(12*(1-nu^2));
K_plate = plateStiffness(nodes, elements, D);

% Newton-Raphson迭代
for iter = 1:100
    [U, F] = solveNR(K_plate, F_gravity);
    K_plate = updateTangentStiffness(K_plate, U);
end