命題：對于連通圖 \(G=(V,E)\)，記其割空間為 \(A\)，環空間為 \(B\)，邊空間為 \(E\)，則 \(A\oplus B=E\) 當且僅當圖 \(G\) 的生成樹個數為奇數。

證明：

由于 \(\dim A+\dim B=\dim E\)，所以 \(A\oplus B=E\) 當且僅當 \(A\) 與 \(B\) 不存在共同非 \(0\) 元。

記圖的關聯矩陣為 \(M\)，則 \(x\in A\) 當且僅當 \(\exists y,x=M^\top y\)，\(x\in B\) 當且僅當 \(Mx=0\)，因此上述條件等價于存在 \(y\) 使得 \(M^\top y\ne 0,MM^\top y=0\)。

此即 \(\operatorname*{rank}(M^\top)=\operatorname*{rank}(MM^\top)\)，而該式的左側等于 \(|V|-1\)。

因為 \(MM^\top=D+A=L\)，所以原命題左側等同于 \(\operatorname*{rank}(L)=|V|-1\)。

圖 \(G\) 的生成樹個數為奇數相當于 \(L\) 去掉第 \(n\) 行以及第 \(n\) 列后的矩陣滿秩，由于 \(L\) 的行和和列和均為 \(0\)，因此 \(L\) 的秩在去掉第 \(n\) 行以及第 \(n\) 列后保持不變，所以右側等同于 \(\operatorname*{rank}(L)=|V|-1\)。

故原命題證畢。