一種繞定軸旋轉的參照系上的慣性力推導方法
記非慣性系 \(S'\) 繞慣性系 \(S\) 定軸旋轉，速度為 \(\boldsymbol{w}(t)\)，加速度為 \(\boldsymbol{\beta}(t)\)。對于一 \(S\) 中坐標為 \(\boldsymbol{r}(t)\)、速度為 \(\boldsymbol{v}(t)\)、加速度為 \(\boldsymbol{a}(t)\) 的質點，我們可以分析其在 \(S'\) 系上受到的慣性力。
不失一般性的假設定軸為 \(z\) 軸，記 \(\operatorname{Rot}(\boldsymbol{v},\alpha)\) 表示向量 \(\boldsymbol{v}\) 繞 \(z\) 軸順時針旋轉 \(\alpha\) 角得到的結果，我們有
\[\begin{aligned}
\boldsymbol{v'}(t)&=\dfrac{\operatorname{Rot}(\boldsymbol{r'}(t+{\rm d}t),-\boldsymbol{w}(t){\rm d}t)-\boldsymbol{r'}(t)}{{\rm d}t}\\
&=\dfrac{\operatorname{Rot}(\boldsymbol{r}(t+{\rm d}t),-\boldsymbol{w}(t){\rm d}t)-\boldsymbol{r}(t+{\rm d}t)+\boldsymbol{r}(t+{\rm d}t)-\boldsymbol{r}(t)}{{\rm d}t}\\
&=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w}\\
\boldsymbol{a'}(t)&=\dfrac{\operatorname{Rot}(\boldsymbol{v'}(t+{\rm d}t),-\boldsymbol{w}(t){\rm d}t)-\boldsymbol{v'}(t)}{{\rm d}t}\\
&=\dfrac{\operatorname{Rot}(\boldsymbol{v'}(t+{\rm d}t),-\boldsymbol{w}(t){\rm d}t)-\boldsymbol{v'}(t+{\rm d}t)+\boldsymbol{v'}(t+{\rm d}t)-\boldsymbol{v'}(t)}{{\rm d}t}\\
&=(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w})\times\boldsymbol{w}+(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w})'\\
&=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{w}+2\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}+\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{\beta}
\end{aligned}
\]
綜上所述，我們得到了 \(S'\) 下質點所受的慣性力，稱 \(m\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{w}\times\boldsymbol{w}\) 為慣性離心力，\(2m\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{w}\) 為科里奧利力，\(m\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{\beta}\) 為切向慣性力。
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