矩陣的秩
設運輸問題的約束矩陣為：
\[A =
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\[6pt]
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\[6pt]
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
其中列向量依次對應變量：
\[(x_{11}, x_{12}, x_{13}, x_{21}, x_{22}, x_{23})
\]
行向量對應五條約束：
- 前兩行為 產地約束；
- 后三行為 銷地約束。
（1）約束關系分析
產銷平衡條件下，兩個產地約束的和等于三個銷地約束的和，即：
\[(x_{11}+x_{12}+x_{13}) + (x_{21}+x_{22}+x_{23})
= (x_{11}+x_{21}) + (x_{12}+x_{22}) + (x_{13}+x_{23})
\]
因此五條約束中存在一條線性相關關系。
也就是說，五個約束中有一個是冗余約束，矩陣 \(A\) 的秩不可能達到 5。
（2）子矩陣 \(A_{(1,4,5,6)}\) 的秩分析
從矩陣 \(A\) 中取出第 1、4、5、6 列，得到子矩陣：
\[A_{(1,4,5,6)} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\[6pt]
0 & 1 & 1 & 1 \\[6pt]
1 & 1 & 0 & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 1 & 0 \\[6pt]
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
對該子矩陣進行行變換可以驗證，其中 4 行線性無關，因此：
\[\text{rank}(A_{(1,4,5,6)}) \ge 4
\]
（3）結論
由于整個矩陣 \(A\) 的秩不超過 4（存在一條約束冗余），
而其子矩陣 \(A_{(1,4,5,6)}\) 的秩至少為 4，
因此可以確定：
\[\boxed{\text{rank}(A) = 4}
\]
（4）推廣結論
對于一般的 \(m\) 個產地與 \(n\) 個銷地的運輸問題，
約束矩陣 \(A\) 的秩滿足：
\[\text{rank}(A) = m + n - 1
\]
本題中 \(m=2, n=3\)，故有：
\[\text{rank}(A) = 2 + 3 - 1 = 4
\]
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