[LeetCode] 1359. Count All Valid Pickup and Delivery Options 有效的快遞序列數目

Given n orders, each order consists of a pickup and a delivery service.

Count all valid pickup/delivery possible sequences such that delivery(i) is always after of pickup(i).

Since the answer may be too large, return it modulo 10^9 + 7.

Example 1:

Input: n = 1
Output: 1
Explanation: Unique order (P1, D1), Delivery 1 always is after of Pickup 1.

Example 2:

Input: n = 2
Output: 6
Explanation: All possible orders:
(P1,P2,D1,D2), (P1,P2,D2,D1), (P1,D1,P2,D2), (P2,P1,D1,D2), (P2,P1,D2,D1) and (P2,D2,P1,D1).
This is an invalid order (P1,D2,P2,D1) because Pickup 2 is after of Delivery 2.

Example 3:

Input: n = 3
Output: 90

Constraints:

1 <= n <= 500

這道題說是有n個訂單，每個訂單要安排提貨 pickup，和送貨 delivery 兩個事件，并且要求 pickup 必須在 delivery 事件前面，問n個訂單的所有 pickup 和 delivery 的合法排序有多少種。參見題目中的例子2不難理解題意，可以看出 Pi 一定在 Di 前面，實際上這道題是一道排列組合題，是要找規律的，若 n=1 時，則根據題目要求，只有一種排列，即 P1 D1，而當 n=2 時，P2 可以加入的位置有哪些呢，其實有3個位置可以加入，如下所示：

_ P1 _ D1 _

兩個字符共有3個加入位置，即 n * 2 - 1，若此時找個位置放下了 P2，則現在場上有了三個字符，理論上應該有4個加入位置，即 n * 2。又因為 P2 必須要在 D2 的前面，所以應該減少一半的情況，則總共有 3 * 4 / 2 = 6 種情況，即 (n * 2 - 1) * n * 2 / 2，化簡一下得到 (n * 2 - 1) * n，這個就是遞推公式，有了這個遞歸公式，就可以求出任意的n值了，注意別忘了結果要對 10^9 + 7 取余，參見代碼如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int countOrders(int n) {
        long res = 1, M = 1e9 + 7;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            res = res * (i * 2 - 1) * i % M;
        }
        return res;
    }
};

再來看一種遞歸的寫法，一行搞定碉堡了，注意這里面的類型轉換，相乘之前要轉為長整型 long 來避免溢出，參見代碼如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int countOrders(int n) {
        return n > 0 ? ((long)countOrders(n - 1) * (n * 2 - 1) * n % ((long)1e9 + 7)) : 1;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1359

參考資料：

https://leetcode.com/problems/count-all-valid-pickup-and-delivery-options

https://leetcode.com/problems/count-all-valid-pickup-and-delivery-options/solutions/516968/java-c-python-easy-and-concise/

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