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1.算法的效率

雖然計算機能快速的完成運算處理，但實際上，它也需要根據輸入數據的大小和算法效率來消耗一定的處理器資源。要想編寫出能高效運行的程序，我們就需要考慮到算法的效率。
算法的效率主要由以下兩個復雜度來評估：
時間復雜度：評估執行程序所需的時間?？梢怨浪愠龀绦驅μ幚砥鞯氖褂贸潭?。
空間復雜度：評估執行程序所需的存儲空間?？梢怨浪愠龀绦驅τ嬎銠C內存的使用程度。

設計算法時，一般是要先考慮系統環境，然后權衡時間復雜度和空間復雜度，選取一個平衡點。不過，時間復雜度要比空間復雜度更容易產生問題，因此算法研究的主要也是時間復雜度，不特別說明的情況下，復雜度就是指時間復雜度。

2.時間復雜度

時間頻度
一個算法執行所耗費的時間，從理論上是不能算出來的，必須上機運行測試才能知道。但我們不可能也沒有必要對每個算法都上機測試，只需知道哪個算法花費的時間多，哪個算法花費的時間少就可以了。并且一個算法花費的時間與算法中語句的執行次數成正比例，哪個算法中語句執行次數多，它花費時間就多。一個算法中的語句執行次數稱為語句頻度或時間頻度。記為T(n)。

時間復雜度
前面提到的時間頻度T(n)中，n稱為問題的規模，當n不斷變化時，時間頻度T(n)也會不斷變化。但有時我們想知道它變化時呈現什么規律，為此我們引入時間復雜度的概念。一般情況下，算法中基本操作重復執行的次數是問題規模n的某個函數，用T(n)表示，若有某個輔助函數f(n)，使得當n趨近于無窮大時，T（n)/f(n)的極限值為不等于零的常數，則稱f(n)是T(n)的同數量級函數，記作T(n)=O(f(n))，它稱為算法的漸進時間復雜度，簡稱時間復雜度。

3.大O表示法

像前面用O( )來體現算法時間復雜度的記法，我們稱之為大O表示法。
算法復雜度可以從最理想情況、平均情況和最壞情況三個角度來評估，由于平均情況大多和最壞情況持平，而且評估最壞情況也可以避免后顧之憂，因此一般情況下，我們設計算法時都要直接估算最壞情況的復雜度，而大O表示法O(f(n)就是指出了算法最壞情況下的運行時間。
大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以為1、n、logn、n2等，因此我們可以將O(1)、O(n)、O(logn)、O(n2)分別可以稱為常數階、線性階、對數階和平方階，那么如何推導出f(n)的值呢？我們接著來看推導大O階的方法。

推導大O階
推導大O階，我們可以按照如下的規則來進行推導，得到的結果就是大O表示法：
1.用常數1來取代運行時間中所有加法常數。
2.修改后的運行次數函數中，只保留最高階項
3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。

在前面大O表示法的語言描述可能有些晦澀難懂，這里用通俗的語言來說，

常數階
先舉了例子，如下所示。

int sum = 0,n = 100; //執行一次  
sum = (1+n)*n/2; //執行一次  
System.out.println (sum); //執行一次

上面算法的運行的次數的函數為f(n)=3，根據推導大O階的規則1，我們需要將常數3改為1，則這個算法的時間復雜度為O(1)。如果sum = （1+n）*n/2這條語句再執行10遍，因為這與問題大小n的值并沒有關系，所以這個算法的時間復雜度仍舊是O(1)，我們可以稱之為常數階。

線性階
線性階主要要分析循環結構的運行情況，如下所示。

for(int i=0;i<n;i++){
//時間復雜度為O(1)的算法
...
}

上面算法循環體中的代碼執行了n次，因此時間復雜度為O(n)。

對數階
接著看如下代碼：

int number=1;
while(number<n){
number=number*2;
//時間復雜度為O(1)的算法
...
}

可以看出上面的代碼，隨著number每次乘以2后，都會越來越接近n，當number不小于n時就會退出循環。假設循環的次數為X，則由2^x=n得出x=log?n，因此得出這個算法的時間復雜度為O(logn)。

平方階
下面的代碼是循環嵌套：

for(int i=0;i<n;i++){   
    for(int j=0;j<n;i++){
       //復雜度為O(1)的算法
       ... 
    }
}

內層循環的時間復雜度在講到線性階時就已經得知是O(n)，現在經過外層循環n次，那么這段算法的時間復雜度則為O(n2)。
接下來我們來算一下下面算法的時間復雜度：

for(int i=0;i<n;i++){   
    for(int j=i;j<n;i++){
       //復雜度為O(1)的算法
       ... 
    }
}

需要注意的是內循環中int j=i，而不是int j=0。當i=0時，內循環執行了n次；i=1時內循環執行了n-1次，當i=n-1時執行了1次，我們可以推算出總的執行次數為：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+……
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……
=(n+1)n/2
=n(n+1)/2
=n2/2+n/2

根據此前講過的推導大O階的規則的第二條：只保留最高階，因此保留n2/2。根據第三條去掉和這個項的常數，則去掉1/2,最終這段代碼的時間復雜度為O(n2)。

其他常見復雜度

除了常數階、線性階、平方階、對數階，還有如下時間復雜度：
f(n)=nlogn時，時間復雜度為O(nlogn)，可以稱為nlogn階。
f(n)=n3時，時間復雜度為O(n3)，可以稱為立方階。
f(n)=2?時，時間復雜度為O(2?)，可以稱為指數階。
f(n)=n!時，時間復雜度為O(n!)，可以稱為階乘階。
f(n)=(√n時，時間復雜度為O(√n)，可以稱為平方根階。

4.復雜度的比較

下面將算法中常見的f(n)值根據幾種典型的數量級來列成一張表，根據這種表，我們來看看各種算法復雜度的差異。

從上表可以看出，O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )隨著n的增加，復雜度提升不大，因此這些復雜度屬于效率高的算法，反觀O(2?)和O(n!)當n增加到50時，復雜度就突破十位數了，這種效率極差的復雜度最好不要出現在程序中，因此在動手編程時要評估所寫算法的最壞情況的復雜度。

下面給出一個更加直觀的圖：

其中x軸代表n值，y軸代表T(n)值（時間復雜度）。T(n)值隨著n的值的變化而變化，其中可以看出O(n!)和O(2?)隨著n值的增大，它們的T(n)值上升幅度非常大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)隨著n值的增大，T(n)值上升幅度則很小。
常用的時間復雜度按照耗費的時間從小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n2)<O(n3)<O(2?)<O(n!)