幾百年都沒有打開博客了。沒想到時隔多年再次寫博客是因為 一場奇怪的考試

昨天看真題道道不會，瞬間回到了模擬賽睡覺爆零的日子。進去的時候全場男生（后來總共3個女生），突然回到了NOI改用廁所的日子。題目發下來 2h過去 好像 每次都很害怕，每次都就這么過去了

T1

求單位正方形中最大的等邊三角形的邊長

T2

求正整數 \(n\) 拆分為 \(1\) , \(2\) 的序列排列數（如 \(4\) 可拆分為 \(( 1,1,1,1)\),\((1,1,2)\),\((1,2,1)\),\((2,1,1)\),\((2,2)\) \(5\) 種）

T3

\(*\) 為集合 \(G\) 上的二元運算，已知：

• 滿足結合律 \(a * b * c =a*(b*c)\)
• 存在左單位元 \(e\) ，對任意 \(a\) 滿足 \(e*a=a\)
• 對任意 \(a\) 存在左逆元 \(b\) ，使 \(b*a=e\)

問

1. 左單位元是否也為右單位元
2. 左逆元是否也為右逆元

T4

函數 \(f\) 的定義域和值域都為正整數集 且滿足\(f(xy)=f(x)+f(y)-1\)

1. 是否存在這樣的函數
2. 是否存在無數個這樣的函數
3. 是否存在嚴格遞增的函數

T5

取 \(99\) 個正整數（可重復），問是否必有其中 \(50\) 個的和能被 \(50\) 整除