4.2 統(tǒng)計(jì)量

統(tǒng)計(jì)量的定義

樣本的任一不含總體分布未知參數(shù)的函數(shù)為該樣本的統(tǒng)計(jì)量。

常用的統(tǒng)計(jì)量

樣本均值

即樣本的算術(shù)平均值：

樣本方差

• 未修正樣本方差

  \[S_0^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2, \]

• 修正樣本方差

  \[S^2=\frac{n}{n-1}S_0^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2, \]

  修正樣本方差具有更好的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)而更常用。

  修正樣本方差簡(jiǎn)稱樣本方差。

樣本標(biāo)準(zhǔn)差

即樣本方差的算術(shù)平方根：

樣本原點(diǎn)矩

樣本的\(k\)階原點(diǎn)矩：

一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。

樣本中心矩

樣本的\(k\)階中心矩：

二階中心矩就是未修正樣本方差。

樣本均值，樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本原點(diǎn)矩，樣本中心矩可統(tǒng)稱為樣本的矩統(tǒng)計(jì)量，簡(jiǎn)稱為樣本矩。

它們都可以表示為樣本的顯式函數(shù)。

順序統(tǒng)計(jì)量則不能表示為顯式函數(shù)。

順序統(tǒng)計(jì)量

將樣本中的分量按由小到大的順序排列：

將\((X_{(1)}\le X_{(2)}\le \cdots \le X_{(n)})\)稱為樣本的一組順序統(tǒng)計(jì)量。

• \(X_{(1)}=\min(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
• \(X_{(n)}=\max(X_1,X_2,\cdots,X_n)\)
• 極差：\(X_{(n)}-X_{(1)}\)

樞軸量

統(tǒng)計(jì)量不包含未知參數(shù)，而對(duì)于僅含一個(gè)未知參數(shù)，分布已知的樣本函數(shù)，稱為樞軸量。

使用教材：
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第四版 中國(guó)人民大學(xué) 龍永紅 主編 高等教育出版社