4.4 抽樣分布

正態(tài)總體的抽樣分布

關(guān)注點：總體是正態(tài)分布，抽樣，樣本所構(gòu)造的統(tǒng)計量的分布的相關(guān)研究。

單正態(tài)總體的抽樣分布

定理

正態(tài)總體\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)是樣本，樣本均值為\(\overline{X}\)，樣本方差為\(S^2\).

其中

1. \(\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)

證明：

由于\(\overline{X}=\frac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots+X_n)\)，且\((X_1+X_2+\cdots+X_n)\)服從正態(tài)分布，所以\(\overline{X}\)也服從正態(tài)分布。

再結(jié)合\(E\overline{X}\)和\(D\overline{X}\)的值，所以\(\overline{X}\)服從參數(shù)為\((\mu,\frac{\sigma^2}{n})\)的正態(tài)分布。

理解

樣本均值的方差比總體的方差小，并且樣本容量(\(n\))越大，方差越小。

假設(shè)有100個隨機數(shù)，

• 當樣本容量\(n=2\)時，可能剛好抽出兩個很大的數(shù)，于是樣本均值很大；也可能剛好抽出兩個很小的數(shù)，于是樣本均值很小，所以樣本容量小會導(dǎo)致樣本均值的方差大。
• 當樣本容量\(n=98\)時，每次抽樣可能都是那么些數(shù)字，每次抽樣可能就和上次抽樣相差一兩個數(shù)字，于是樣本均值都差不多，也就是說樣本均值的方差比較小。

推論

因為\(\overline{X}\)服從正態(tài)分布，所以標準化之后就服從標準正態(tài)分布。

2. \(\frac{n-1}{\sigma^2}S^2=\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})\sim \chi^2(n-1)\)

3. \(\overline{X}\)和\(S\)相互獨立。

另外一些定理

1. \(\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)\)

• \(\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X})\sim \chi^2(n-1)\)
• \(\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)\)

這樣兩個定理的區(qū)別在于上面用的\(\overline{X}\)是樣本均值，下面的\(\mu\)是總體期望。

上面的卡方分布的自由度是\(n-1\)，下面的自由度是\(n\)。

簡單理解記憶：上面的定理有\(\overline{X}=\frac{1}{n}(X_1+\cdots+X_n)\)，比下面的定理多出一個約束(方程)。

聯(lián)系線性方程組的知識點，多一個方程就少一個自由未知量，因此自由度就比下面的少1.

2. \(\frac{\overline{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\)

證明：

前置知識：

• 標準正態(tài)分布和卡方分布構(gòu)成\(t\)分布：
  \[X\sim N(0,1)，Y\sim \chi^2(n) \]
  \[\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) \]

結(jié)合上文的推論與定理：

因此

又因為

所以

雙正態(tài)總體的抽樣分布

• 兩個總體：\(X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)\)，

• 分別抽樣：\((X_1,\cdots,X_{n_1})\)和\((Y_1,\cdots,Y_{n_2})\)，(兩個樣本的容量不一樣，分別是\(n_1\)和\(n_2\))

• 樣本均值：\(\overline{X},\overline{Y}\)，

• 樣本方差：\(S_1^2,S_2^2\)。

定理

證明：

根據(jù)上面單正態(tài)總體關(guān)于樣本均值的定理，有

• \(\overline{X}\sim N(\mu_1,\frac{\sigma_1^2}{n_1})\)
• \(\overline{Y}\sim N(\mu_2,\frac{\sigma_2^2}{n_2})\)

再根據(jù)正態(tài)分布的線性可加性，有

再標準化，就得到了上面的定理。

證明：

前置知識點：

\(F\)分布

\(X\sim \chi^2(n_1),Y\sim \chi^2(n_2)\)

則\(\frac{X/n_1}{Y/n_2}\sim F(n_1,n_2)\)

根據(jù)上面單正態(tài)總體關(guān)于樣本方差的定理，有

• \(\frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2}\sim \chi^2(n_1-1)\)
• \(\frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2}\sim \chi^2(n_2-1)\)

于是

因此

使用教材：
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第四版 中國人民大學(xué) 龍永紅 主編 高等教育出版社