[概率論與數理統計]筆記:2.1 隨機變量及其分布
第二章 隨機變量的分布與數字特征
2.1 隨機變量及其分布
隨機變量的概念
定義
定義在概念空間\((\Omega,P)\)上,取值為實數的函數\(X=X(\omega)(\omega\in \Omega)\)稱為\((\Omega,P)\)上的一個隨機變量.
理解
隨機變量的作用在于將樣本的文字描述轉換為實數,是一個具體到抽象的過程。
舉例:
投擲一枚硬幣,記正面朝上次數為隨機變量\(X\),則\(X\)作為樣本空間\(\Omega=\{正面,反面\}\)上的函數定義為
記號
隨機變量常見的記號有:\(X,Y,Z,\xi,\eta\)
\(\{\omega|X(\omega)=a\}\):表示滿足某一特征的樣本組成的事件,簡記為\(\{X=a\}\).
事件的概率記為\(P\{X=a\}\),也可以記為\(P(X=a)\).
離散型隨機變量的概率分布
定義
如果\(X\)的全部可能取值只有有限個或可數無窮多個,則稱\(X\)是一個離散型隨機變量。
設\(X\)的全部可能取值為\(\{x_i,i=1,2,\cdots\}\),記
則稱\(\{p(x_i),i=1,2,\cdots\}\)為\(X\)的概率分布。\(p(x_i)\)也可以簡記為\(p_i\)。
概率分布可以用表格的形式表示,稱為概率分布表:
| \(X\) | \(x_1\) | \(x_2\) | \(\cdots\) | \(x_i\) | \(\cdots\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P\) | \(p_1\) | \(p_2\) | \(\cdots\) | \(p_i\) | \(\cdots\) |
性質
- \(p(x_i)\ge 0, \ i=1,2,\cdots\);
- \(\sum\limits_ip(x_i)=1\)
分布函數
定義
設\(X\)是隨機變量,則稱函數
為隨機變量\(X\)的分布函數,記作\(X\sim F(x)\).
定義域:\(x\in\mathbb{R}\)
值域:\(F(x)\in[0,1]\)
分布函數是實函數。
性質
- \(F(x)\)不減:若\(x_1<x_2\),則\(F(x_1)\le F(x_2)\);
- \(F(-\infty)=0, \quad F(+\infty)=1\);
- \(F(x)\)右連續,至多可列個間斷點.
- 離散型:右連續
- 連續型:連續
連續性條件:
- 極限值存在
- 函數值存在
- 極限值等于函數值
計算
\(F(x)=P\{X\le x\}\)
-
\(P\{X\le a\}=F(a)\)
-
\(P\{X>a\}=1-P\{X\le a\}=1-F(a)\)
-
\(P\{a<X\le b\}=P\{X\le b\}-P\{X\le a\}=F(b)-F(a)\)
-
\(P\{X=a\}=F(a)-F(a-0)\)
這里的\(F(a)\)對應區間\((-\infty,a]\),\(F(a-0)\)對應區間\((-\infty,a)\).
這里的\(-0\)可以理解為無窮小量,無限逼近\(a\),將\(a\)點排除在外。
-
\(P\{a\le X\le b\}=F(b)-F(a-0)\)
-
\(P\{X<a\}=F(a-0)\)
-
\(P\{X\ge a\}=1-F(a-0)\)
以上的這些等式是離散型和連續型都適用的。
事實上,連續型可以不考慮端點。
離散型隨機變量的分布函數
離散型隨機變量的分布函數\(F(x)\)是階梯函數,跳躍點為\(X\)的每一個取值,跳躍高度為\(X\)在相應點處的概率。
連續型隨機變量及其概率密度函數
連續型隨機變量
定義
連續型隨機變量是指如果隨機變量\(X\)的所有可能取值不可以逐個列舉出來,而是取數軸上某一區間內的任一點的隨機變量。
概率密度函數
定義
如果存在一個非負可積的函數\(f(x)\),使得\(X\)的分布函數
則稱\(f(x)\)為\(X\)的概率密度函數,簡稱密度函數.
性質
- \(f(x)\ge0,\quad x\in(-\infty,+\infty)\)
- \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)
計算
- 通過密度函數的積分可以求\(X\)的取值落于任意區間上的概率:
- 對于任意實數\(x\),有:
對于指定的\(x\),\(f(x)\)的含義:(此時\(X\)取\(x\)附近的值)
即\(P(x<X<x+\Delta x)\approx f(x)\Delta x\)
- 在\(f(x)\)的連續點處,有:
這個等式聯系了分布函數和密度函數。
使用教材:
《概率論與數理統計》第四版 中國人民大學 龍永紅 主編 高等教育出版社

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