第二章 隨機變量的分布與數字特征

2.1 隨機變量及其分布

隨機變量的概念

定義

定義在概念空間\((\Omega,P)\)上，取值為實數的函數\(X=X(\omega)(\omega\in \Omega)\)稱為\((\Omega,P)\)上的一個隨機變量.

理解

隨機變量的作用在于將樣本的文字描述轉換為實數，是一個具體到抽象的過程。

舉例：

投擲一枚硬幣，記正面朝上次數為隨機變量\(X\)，則\(X\)作為樣本空間\(\Omega=\{正面，反面\}\)上的函數定義為

記號

隨機變量常見的記號有：\(X,Y,Z,\xi,\eta\)

\(\{\omega|X(\omega)=a\}\)：表示滿足某一特征的樣本組成的事件，簡記為\(\{X=a\}\).

事件的概率記為\(P\{X=a\}\)，也可以記為\(P(X=a)\).

離散型隨機變量的概率分布

定義

如果\(X\)的全部可能取值只有有限個或可數無窮多個，則稱\(X\)是一個離散型隨機變量。

設\(X\)的全部可能取值為\(\{x_i,i=1,2,\cdots\}\)，記

則稱\(\{p(x_i),i=1,2,\cdots\}\)為\(X\)的概率分布。\(p(x_i)\)也可以簡記為\(p_i\)。

概率分布可以用表格的形式表示，稱為概率分布表:

性質

1. \(p(x_i)\ge 0, \ i=1,2,\cdots\)；
2. \(\sum\limits_ip(x_i)=1\)

分布函數

定義

設\(X\)是隨機變量，則稱函數

為隨機變量\(X\)的分布函數，記作\(X\sim F(x)\).

定義域：\(x\in\mathbb{R}\)

值域：\(F(x)\in[0,1]\)

分布函數是實函數。

性質

1. \(F(x)\)不減：若\(x_1<x_2\)，則\(F(x_1)\le F(x_2)\)；
2. \(F(-\infty)=0, \quad F(+\infty)=1\)；
3. \(F(x)\)右連續，至多可列個間斷點.
   • 離散型：右連續
   • 連續型：連續

連續性條件：

1. 極限值存在
2. 函數值存在
3. 極限值等于函數值

計算

\(F(x)=P\{X\le x\}\)

• \(P\{X\le a\}=F(a)\)

• \(P\{X>a\}=1-P\{X\le a\}=1-F(a)\)

• \(P\{a<X\le b\}=P\{X\le b\}-P\{X\le a\}=F(b)-F(a)\)

• \(P\{X=a\}=F(a)-F(a-0)\)

這里的\(F(a)\)對應區間\((-\infty,a]\)，\(F(a-0)\)對應區間\((-\infty,a)\).

這里的\(-0\)可以理解為無窮小量，無限逼近\(a\)，將\(a\)點排除在外。

• \(P\{a\le X\le b\}=F(b)-F(a-0)\)

• \(P\{X<a\}=F(a-0)\)

• \(P\{X\ge a\}=1-F(a-0)\)

以上的這些等式是離散型和連續型都適用的。

事實上，連續型可以不考慮端點。

離散型隨機變量的分布函數

離散型隨機變量的分布函數\(F(x)\)是階梯函數，跳躍點為\(X\)的每一個取值，跳躍高度為\(X\)在相應點處的概率。

連續型隨機變量及其概率密度函數

連續型隨機變量

定義

連續型隨機變量是指如果隨機變量\(X\)的所有可能取值不可以逐個列舉出來，而是取數軸上某一區間內的任一點的隨機變量。

概率密度函數

定義

如果存在一個非負可積的函數\(f(x)\)，使得\(X\)的分布函數

則稱\(f(x)\)為\(X\)的概率密度函數，簡稱密度函數.

性質

1. \(f(x)\ge0,\quad x\in(-\infty,+\infty)\)
2. \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\)

計算

1. 通過密度函數的積分可以求\(X\)的取值落于任意區間上的概率：

2. 對于任意實數\(x\)，有：

對于指定的\(x\)，\(f(x)\)的含義：（此時\(X\)取\(x\)附近的值）

即\(P(x<X<x+\Delta x)\approx f(x)\Delta x\)

3. 在\(f(x)\)的連續點處，有：

這個等式聯系了分布函數和密度函數。

使用教材：
《概率論與數理統計》第四版 中國人民大學 龍永紅 主編 高等教育出版社