第四章 數理統計的基礎知識

4.1 總體與樣本

總體與總體分布

概念

• 總體：在某種共性基礎上由許多個別事物結合起來的整體。
• 個體：指構成統計總體的個別事物的總稱。
• 總體的容量：總體中個體的個數。
• 有限總體：容量有限的總體。
• 無限總體：容量無限的總體。

每一個個體代表一次試驗的觀察值，不同個體可以有相同的觀察值。

在統計學中，稱\(X\)為總體，把\(X\)的分布稱為總體的分布。

• 表示總體的\(X\)可以是隨機變量或隨機向量。
• 個體的定性指標可以轉化為數量指標，從而設定一個隨機變量來表示研究的總體。
• 總體分布就是設定的\(X\)的分布，一般是未知的。統計學的主要任務就是對總體的未知分布進行推斷。

樣本與樣本分布

概念

• 樣本：通過一定方法從總體中取出若干個體組成的子集。

• 簡單隨機樣本：\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)，其中\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)獨立同分布，且與總體\(X\)同分布。

• 簡單隨機抽樣：使每個可能的樣本被抽中的概率相等的一種抽樣方式。

• 樣本值：樣本的一組具體的觀察值。

• 樣本空間：全體樣本值組成的集合。

• 樣本分布：

  設總體\(X\)的分布函數為\(F(x)\)，則樣本\((X_1,X_2,\cdots,X_n)\)的分布函數為

  \[F_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^nF(x_i), \]

  稱之為樣本分布。

  • 若\(X\)為連續型隨機變量，密度函數為\(f(x)\)，則樣本的密度函數為：
  \[f_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\prod\limits_{i=1}^nf(x_i). \]
  • 若\(X\)為離散型隨機變量，概率分布為\(p(x)=P\{X=x\}\)，\(x\)取遍\(X\)所有可能取值，則樣本的概率分布為：
    \[p_n(x_1,x_2,\cdots,x_n)=P\{X_1=x_1,X_2=x_2,\cdots,X_n=x_n\}=\prod\limits_{i=1}^np(x_i). \]

統計推斷問題簡述

通過樣本的特征選擇適合的分布（模型），并由此對總體分布中所含的未知參數作出統計推斷。

使用教材：
《概率論與數理統計》第四版 中國人民大學 龍永紅 主編 高等教育出版社