5.5 單正態總體的參數假設檢驗

均值\(\mu\)的檢驗

對于參數\(\mu\)可以提出如下假設：

其中\((A)\)的\(H_1\)，參數\(\mu\)可以取值在\(\mu_0\)兩側，稱為雙側假設檢驗問題。

對應地，\((B)\)和\((C)\)稱為單側假設檢驗問題。

情況1：方差\(\sigma^2\)已知

已知\(\sigma^2 = \sigma_0^2\)，檢驗\(H_0:\mu=\mu_0\).

這里先討論雙側假設檢驗問題。

\[H_0:\mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu\ne\mu_0 \tag{A} \\ \]

第1步：提出假設\(H_0:\mu=\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu\ne\mu_0\)

第2步：假定\(H_0\)成立，則總體\(X\sim N(\mu_0,\sigma_0^2)\)，構造統計量\(U=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma_0/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\)

第3步：對于給定\(\alpha\)，由小概率事件發生概率\(P\{|U|>u_\frac{\alpha}{2}\}=\alpha\)，再結合查表，可以得到\(u_\frac{\alpha}{2}\)

樣本均值\(\overline{X}\)是\(\mu\)的優良估計，所以二者是非常接近的。所以，\(U\)的取值應該大概率落在0附近。如果\(|U|\)超出某個閾值，我們就認為是小概率事件發生了，通過指定閾值概率\(\alpha\)，我們就可以查表得到\(u_\frac{\alpha}{2}\)，也就是確定了拒絕域。

第4步：計算\(U\)的值，比較\(|U|\)和\(u_\frac{\alpha}{2}\)

統計量\(U\)是通過樣本計算得到的，如果計算結果\(|U|>u_{\frac{\alpha}{2}}\)，那么我們就說這個樣本落在了拒絕域。

下結論：

• 如果\(|U|>u_\frac{\alpha}{2}\)，則拒絕\(H_0\).

• 如果\(|U|<u_\frac{\alpha}{2}\)，則接受\(H_0\).

• 如果\(|U|=u_\frac{\alpha}{2}\)，慎重處理，再抽樣，再檢驗。

對于單側假設檢驗問題：

\[\begin{align*} & H_0:\mu\le\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu>\mu_0 \tag{B} \\ & H_0:\mu\ge\mu_0 \leftrightarrow H_1:\mu<\mu_0 \tag{C} \\ \end{align*} \]

思路已知，步驟類似，只需稍作修改。

對于單側假設檢驗問題，假定\(H_0\)成立，我們仍使用\(\mu=\mu_0\)構造統計量(零假設\(H_0\)始終包含\(\mu=\mu_0\))。

對于給定的\(\alpha\)，小概率事件有所改變：

• 對于\((B)\)，\(\mu\)不能太大，所以拒絕域為\(W=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|U>u_\alpha\}\)

• 對于\((C)\)，\(\mu\)不能太小，所以拒絕域為\(W=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|U<-u_\alpha\}\)

上述檢驗問題運用了\(U\)檢驗法，即構造的樞軸量服從或者漸進服從標準正態分布。

情況2：方差\(\sigma^2\)未知

總體方差\(\sigma^2\)未知，可以使用樣本方差\(S^2\)來代替構造統計量：

\(t\)分布和標準正態分布都是關于\(y\)軸對稱的，所以過程與上面總體方差已知的情況類似。

不難得出\((A),(B),(C)\)三種情況的拒絕域：

這里采用\(t\)檢驗法，即構造的樞軸量服從或漸進服從\(t\)分布。

方差\(\sigma^2\)的檢驗

對于參數\(\sigma^2\)可以提出如下假設：

其中\((A)\)稱為雙側假設檢驗問題。

對應地，\((B)\)和\((C)\)稱為單側假設檢驗問題。

情況1：均值\(\mu\)已知

總體均值\(\mu=\mu_0\)已知，總體\(X\sim N(\mu_0,\sigma^2)\)，檢驗\(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\).

第1步：提出假設\(H_0:\sigma^2=\sigma^2_0 \leftrightarrow H_1:\sigma^2\ne\sigma^2_0\)

第2步：假定\(H_0\)成立，則\(X\sim N(\mu_0,\sigma_0^2)\)，構造統計量\(\chi^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\mu_0)^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2(n)\)

第3步：對于給定的\(\alpha\)，由\(P\{\chi^2>\chi^2_\frac{\alpha}{2}(n)\}=P\{\chi^2<\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)\}=\frac{\alpha}{2}\)確定拒絕域

這里需要注意的是，卡方分布和上面的標準正態分布、\(t\)分布不同，卡方分布不是對稱的。但是在雙側假設檢驗問題中，小概率\(\alpha\)還是被均分到了兩側，即都是\(\frac{\alpha}{2}\)，這是一個約定俗成的比例。

第4步：根據樣本計算\(\chi^2\)值，比較拒絕域，下結論。

總結：

• \((A)\)的拒絕域：\(W=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|\chi^2<\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n)或\chi^2>\chi^2_\frac{\alpha}{2}(n)\}\)

• \((B)\)的拒絕域：\(W=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)| \chi^2>\chi^2_\alpha(n)\}\)

• \((C)\)的拒絕域：\(W=\{(x_1,x_2,\cdots,x_n)|\chi^2<\chi^2_{1-\alpha}(n)\}\)

以上采用了\(\chi^2\)檢驗法，即構造的樞軸量服從或漸進服從\(\chi^2\)分布。

情況2：均值\(\mu\)未知

由于總體均值未知，構造統計量的時候可以用樣本均值\(\overline{X}\)代替。

假定\(H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\)成立，構造統計量：

過程與上文類似，可以得出\((A),(B),(C)\)三種情況的拒絕域分別是：

這種情況下也是采用了\(\chi^2\)檢驗法，與總體均值\(\mu\)已知的情況只區別于自由度分別為\(n\)和\(n-1\).

使用教材：
《概率論與數理統計》第四版 中國人民大學 龍永紅 主編 高等教育出版社