在實際問題中，總體分布通常是未知的，可能是分布的類型未知，也可能是分布的相關參數未知，比如已知是正態分布，但是不知道參數是多少。于是總體分布未知可以分為類型未知和參數未知兩種情況。 對于這些未知，我們可以提出一種推斷，比如說“假設總體服從正態分布”，或者說“假設正態分布的總體均值是100”，這些推斷叫做假設......

5.4 假設檢驗概述

假設檢驗問題的提法

基本概述

在實際問題中，總體分布通常是未知的，可能是分布的類型未知，也可能是分布的相關參數未知，比如已知是正態分布，但是不知道參數\(\mu,\sigma^2\)是多少。

于是總體分布未知可以分為類型未知和參數未知兩種情況。

對于這些未知，我們可以提出一種推斷，比如說”假設總體服從正態分布“，或者說”假設正態分布的\(\mu\)是100“，這些推斷叫做假設。

因為參數未知進行的推斷叫做參數假設，而對其他未知比如類型未知進行的推斷叫做非參數假設。

假設之后，我們需要使用樣本來證明我們推斷的準確性，這個過程叫做假設檢驗。

對參數假設進行的檢驗叫做參數假設檢驗，對非參數假設進行的檢驗叫做非參數假設檢驗。

假設

• 待檢驗的假設稱為原假設或零假設，記作\(H_0\).
• 與之對立的假設稱為備擇假設或對立假設，記作\(H_1\).

二者是二選一，接受其中一個假設就意味著拒絕另一個假設。

一個假設檢驗問題通常簡記為\(H_0\leftrightarrow H_1\).

案例

有一新工藝，不知道是否能提高生產效率，那么\(H_0\)可以是"生產效率不變"，而\(H_1\)是”新工藝使得生產效率提高“。

\(H_0\)可以理解為研究者想要推翻的結論，\(H_1\)是研究者想要證明的結論。

這個案例可以簡記為：\(H_0:生產效率不變\leftrightarrow H_1:生產效率提高\).

假設檢驗問題

• 顯著性假設檢驗問題——只提出唯一假設\(H_0\)
• \(H_0\)對\(H_1\)假設檢驗問題——提出兩個假設

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基本思想與原理

小概率原理

小概率事件在一次試驗中不太可能發生。

論證邏輯

如果\(H_0\)成立導致了小概率事件發生，那么我們就拒絕假設\(H_0\). (即懷疑該假設的準確性)

基本概念

• 顯著性水平\(\alpha\)：在假設檢驗問題中，小概率事件發生的概率，是事先指定的一個很小的正數。
• 拒絕域：小概率事件對應的樣本的取值區域。

當有樣本觀察值落在拒絕域內，就說明發生了小概率事件，于是便拒絕零假設。

假設檢驗與置信區間

假設檢驗與置信區間都需要構造樞軸量。

在求解置信區間的時候，樞軸量有一個未知的\(\mu\)或者\(\sigma^2\)需要求解，關注的是概率為\(1-\alpha\)的大概率事件。

而假設檢驗的時候，樞軸量中的\(\mu\)或\(\sigma^2\)會代入\(H_0\)假設的數值，然后再根據樣本的實際觀察值檢驗是否落在拒絕域內，關注的是概率為\(\alpha\)的小概率事件。

基本思想

• 構造一個含待檢驗參數和分布已知的樞軸量\(T\)，在假設\(H_0\)成立的條件下，確定拒絕域。
• 檢驗法則：小概率事件是否發生。
  • \(P\{(X_1,X_2,\cdots,X_n)\in W\}=\alpha\)對應小概率事件，其中\(W\)稱為\(H_0\)的拒絕域。
  • \(P\{(X_1,X_2,\cdots,X_n)\in \overline{W}\}=1-\alpha\)對應大概率事件，其中\(\overline{W}\)對應\(H_0\)的接受域。

假設檢驗的一般步驟

第1步：提出\(H_0\leftrightarrow H_1\).

第2步：假設\(H_0\)成立，構造樞軸量\(T\)，確定其分布。

第3步：對于給定的\(\alpha\)，根據\(P\{(X_1,X_2,\cdots,X_n)\in W\}=\alpha\)求解確定拒絕域\(W\).

第4步：由樣本數據\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\)求出統計量\(T\)的值：

• 如果\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\in W\)，則拒絕\(H_0\)，接受\(H_1\).
• 如果\((x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \overline{W}\)，則接受\(H_0\)，拒絕\(H_1\).

兩類錯誤

在假設檢驗中，我們通過樣本來檢驗假設的準確性。

而抽樣具有隨機性，并且有時樣本容量過小，或者其他原因，都會導致最終的推斷可能出現錯誤。

統計推斷是具有誤差的，比如天氣預報。

第一類錯誤

棄真：\(H_0\)是成立的，但是被拒絕了。

犯第一類錯誤的概率記為：

這里的\(\alpha\)記號和上文的小概率事件的概率不是同一個記號。

第二類錯誤

納偽/取偽：\(H_0\)不成立，但是被接受了。

犯第二類錯誤的概率記為：

目標與現實

我們希望\(\alpha\)和\(\beta\)越小越好，但是在實際問題中很難做到同時降低兩個錯誤率，除非將樣本容量\(n\)無限加大，而實際問題中抽樣是需要成本的，所以很難同時降低\(\alpha\)和\(\beta\)。

通常，我們更重視\(\alpha\)，在\(\alpha\)很小的前提下，再盡量降低\(\beta\).

思路：寧信其有，不信其無，或者說嚴重點記作寧可殺錯不可放過。

案例：

1. 某刑事案件中有犯人1個，但是只要是有嫌疑的人都會被調查訪問。

   在這個案例中，第一類錯誤就是把犯人放跑了，即棄真；第二類錯誤是只要有嫌疑的人都會被調查，不管其是否真的是犯人，即納偽。顯然我們更關注的是真的那個犯人，所以我們的首要任務是要把第一類錯誤的錯誤率壓下去，即只要是有嫌疑的人都要被調查訪問。

2. 體檢：不確定身體有沒有問題？那就檢查一下。

   我們不希望“生病了但是不知道自己生病了”，也就是不希望出現第一類錯誤。就算是沒有的病，體檢的時候也要檢查一下，所以第二類錯誤在這個案例中是無關緊要的。

使用教材：
《概率論與數理統計》第四版 中國人民大學 龍永紅 主編 高等教育出版社