[概率論與數理統計]筆記：1.5 事件的獨立性

如果一個事件$B$發生與否對另一個事件$A$發生的概率沒有任何影響，則P(A|B)=P(A) 其中，P(B)>0，稱A獨立于B. 對稱的，如果P(B|A)=P(B),P(A)>0則稱B獨立于A. 綜合起來，如果：P(AB)=P(A)P(B) (其中P(A)>0,P(B)>0)，則稱A與B相互獨立，簡稱A與B獨立。

1.5 事件的獨立性

兩個事件的獨立性

定義

如果一個事件$B$發生與否對另一個事件$A$發生的概率沒有任何影響，則

\[P(A|B)=P(A) \]

其中，$P(B)>0$，稱$A$獨立于$B$.

對稱的，如果$P(B|A)=P(B),P(A)>0$則稱$B$獨立于$A$.

綜合起來，如果：

\[P(AB)=P(A)P(B) \]

(其中$P(A)>0,P(B)>0$)，則稱$A$與$B$相互獨立，簡稱$A$與$B$獨立。

推論

$\varnothing$和$\Omega$與任意事件$A$獨立。
若$A,B$獨立，則$A,\overline{B}$獨立，$\overline{A},B$獨立，$\overline{A},\overline{B}$獨立。
若$P(A)=0$或$P(A)=1$，則$A$與任意事件獨立。

$P(A)=0$不等價于$A=\varnothing$，$P(A)=1$不等價于$A=\Omega$。

舉例：

線段$[0,1]$上隨機投一質子，落在某一點上的概率為0，但是該事件不是$\varnothing$；

質子落在區間$(0,1)$內的概率為1，但是該事件不是$\Omega$(還差0和1這兩個點)。

聯系

獨立和互不相容這兩個概念沒有必然聯系：

獨立是以概率的角度，互不相容是以事件的關系運算的角度。
獨立和互不相容不同時成立：
- 若$A,B$獨立，則$P(AB)=P(A)P(B)>0$
- 若$A,B$互不相容，則$AB=\varnothing$，$P(AB)=0$.
兩者不會同時發生。
互不相容表現為：$A$發生了，$B$就一定不可能發生。而獨立表現為：$A$發生了，$B$可能發生也可能不發生，和$A$沒有關系。

常用題型

投籃、射擊類題目，多次試驗相互獨立。
題目指明事件$A,B,C,\cdots$相互獨立。

有限個事件的獨立性

定義

設$A_1,A_2,\cdots,A_n$為$n(n\ge2)$個事件，如果對其中任何$k(2\le k\le n)$個事件$A_{i_1},A_{i_2},\cdots,A_{i_k}(1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n)$，均有

\[P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}) \]

則稱$A_1,A_2,\cdots,A_n$相互獨立。

伯努利概型

定理

事件$A$發生的概率為$p(0<p<1)$，$\overline{A}:1-p$.

$n$重伯努利試驗中，$A$發生$k$次：

\[P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} \]

如果記$q=1-p$，則公式可記為:

\[P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k} \]

這個公式叫二項概率公式.

使用教材：
《概率論與數理統計》第四版中國人民大學龍永紅主編高等教育出版社

posted @ 2023-01-03 17:35 feixianxing 閱讀(615) 評論(0) 收藏舉報

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