2.5 隨機變量函數的分布

隨機變量函數

對于一個隨機變量\(X\)，其取值是不確定的，如果存在一個函數\(g(x)\)，使得隨機變量\(X,Y\)滿足：

則稱隨機變量\(Y\)是隨機變量\(X\)的函數。

\(X\)的統計規律決定了\(Y\)的統計規律.

離散型隨機變量函數的分布

離散型隨機變量\(X\)的函數\(Y=g(X)\)顯然還是離散型隨機變量。

\(Y\)的概率分布完全由\(X\)的概率分布所確定。

連續型隨機變量函數的分布

設隨機變量\(X\)的密度函數為\(f_X(x)\)，分布函數為\(F_X(x)\)。

用函數\(g(x)\)構造隨機變量\(Y=g(X)\)，記\(Y\)的密度函數為\(f_Y(x)\)，分布函數為\(F_Y(x)\)。

求解\(Y\)的密度函數的過程可以為：

1. 使用\(F_X(x)\)表示\(F_Y(x)\).
2. 兩邊求導，得到用\(f_X(x)\)表示的\(f_Y(x)\).

均勻分布

均勻分布線性替換后仍是均勻分布。

例題：

已知\(X\)的密度函數為\(f_X(x)\)，\(Y=3X+2\)，求\(Y\)的密度函數.

• \(F_X(x)=P\{X\le x\}\)
• \(F_Y(x)=P\{Y\le x\}\)

解：

\(F_Y(x)=P\{Y\le x\}=P\{3X+2\le x\}=P\{X\le \frac{x-2}{3}\}=F_X(\frac{x-2}{3})\)

\(F_Y(x)=F_X(\frac{x-2}{3})\)兩邊求導，得：

特別地，如果\(X\)服從區間\([0,4]\)上的均勻分布，且

則有

事實上，若\(X\)服從\([a,b]\)上的均勻分布，\(Y=kX+C(k\ne0)\)，則服從相應區間上的均勻分布。

• 當\(k>0\)時，相應區間為\([ka+C,kb+C]\)
• 當\(k<0\)時，相應區間為\([kb+C,ka+C]\)

正態分布

線性

設\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，\(Y=aX+b(a\ne0)\)。

當\(a>0\)時，\(F_Y(x)=P\{Y\le x\}=P\{aX+b\le x\}=P\{X\le\frac{x-b}{a}\}=\varPhi(\frac{x-b}{a})\)

兩邊都求導，得

再結合\(\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)，兩者對比，可得\(Y\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\).

當\(a<0\)時，過程類似，主要在于不等號的轉換。

標準化

當\(Y=\frac{X-\mu}{\sigma}\)時，\(Y\sim N(0,1)\)。其實就是一個標準化的過程。

結論：服從正態分布的隨機變量經過線性變換后仍然是服從正態分布的。

定理1 \(X\)的密度函數為\(f_X(x)\)，\(Y=kX+b(k\ne0)\)，則\(f_Y(x)=\frac{1}{|k|}f_X(\frac{x-b}{k})\).

非線性

• 若\(X\sim N(0,1),Y=X^2\)，則\(Y\)服從自由度為1的卡方分布，記作\(Y\sim \chi^2(1)\).

• 若\(Y=\ln X\)服從正態分布\(N(\mu,\sigma^2)\)，則稱隨機變量\(X\)服從參數\(\mu,\sigma^2\)的對數正態分布，記作\(\ln X\sim N(\mu,\sigma^2)\)。

使用教材：
《概率論與數理統計》第四版 中國人民大學 龍永紅 主編 高等教育出版社