3.2 條件分布與隨機變量的獨立性

條件分布

• 分布函數(shù)：\(F(x)=P\{X\le x\}\)
• 條件分布函數(shù)：\(F(x|A)=P\{X\le x|A\}\)

條件分布：事件\(A\)發(fā)生的條件下，\(X\)的分布函數(shù)就叫條件分布函數(shù)。( 事件\(A\)會對事件\(\{X\le x\}\)發(fā)生的概率產(chǎn)生影響。)

離散型條件分布

假設(shè)有兩個隨機變量\(X,Y\)，在\(Y=y_j\)的條件下，要求\(X\)的分布，即\(P\{X\le x|Y=y_j\}\)。

解題思路：

1. 畫出聯(lián)合概率分布表，計算邊緣概率，其中\(P\{Y=y_j\}=\sum\limits_ip_{ij}\)。
2. \(P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}\)

連續(xù)型條件分布

• 隨機向量\((X,Y)\)
• 密度函數(shù)\(f(x,y)\)
• 邊緣密度函數(shù)\(f_X(x),f_Y(y)\)

若\(f_Y(y)>0\)，在\(Y=y\)的條件下，條件分布函數(shù)

而條件密度函數(shù)

同理，在\(X=x\)的條件下，

這里簡單的證明一下第一個公式：

這里的分子分母均為0。

類似于可以將\(x=5\)表示為\(\lim\limits_{\varepsilon\to0}5\le x\le5+\varepsilon\)，

這里將上式表示為下式：

積分中值定理：存在\(\xi\in[a,b]\)使得\(\int_a^bf(x)\mathrmw0obha2h00x=f(\xi)(b-a)\)

詳細表述??積分中值定理_百度百科 (baidu.com)

根據(jù)積分中值定理，分母的\(\varepsilon\)為區(qū)間長度，則存在\(\xi\in[y,y+\varepsilon]\)使得\(\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f_Y(v)dv=f_Y(\xi)\).

又因為\(y\le\xi\le y+\varepsilon\)且\(\varepsilon\to0\)，所以\(\xi=y\).

所以\(\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f_Y(v)dv=f_Y(y)\)

分子部分同理，根據(jù)積分中值定理，分子部分中間的\(\frac{1}{\varepsilon}\int_y^{y+\varepsilon}f(u,v)\mathrmw0obha2h00v=f(u,y)\)

因此，原式\(=\frac{\int_{-\infty}^xf(u,y)\mathrmw0obha2h00u}{f_Y(y)}\)（這里的分母是常數(shù)，可以移到積分內(nèi)部）

綜上，

總結(jié)：

1. 將點轉(zhuǎn)換為長度趨于0的區(qū)間。
2. 積分中值定理。

隨機變量的獨立性

定義

如果\(X,Y\)滿足

即

則說\(X,Y\)是相互獨立的。

同理有\(F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\)。

充要條件

\(X,Y\)相互獨立的充要條件是\(X\)的所有事件與\(Y\)的所有事件獨立：

二維離散型的獨立性

如果聯(lián)合概率等于邊緣概率的乘積，則相互獨立。

這里的\(i,j\)需要遍歷所有情況，

• 只要有一個不等于，就不滿足相互獨立。
• 如果對于所有的\(i,j\)都相等，則相互獨立。

圖解：

二維連續(xù)型的獨立性

• \(X,Y\)相互獨立的充要條件是\(f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)\)。

• 二元正態(tài)分布的兩個變量相互獨立當且僅當\(\rho=0\).

隨機變量函數(shù)的獨立性

如果\(X,Y\)相互獨立，則\(g_1(X),g_2(Y)\)相互獨立。

使用教材：
《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第四版 中國人民大學(xué) 龍永紅 主編 高等教育出版社