1.2 隨機事件的概率

定義

簡單定義

概率是隨機事件發生的可能性大小的度量（數值）。

頻率可以作為概率的估計，但頻率的穩定值不能作為概率的定義。

一個事件的概率是由事件本身特征決定的客觀存在。

頻率的穩定值是概率的外在的必然表現。

公理化定義

設\(\Omega\)是一個樣本空間，定義在\(\Omega\)的事件域\(\mathscr{F}\)上的一個實值函數\(P(\cdot)\)稱為\(\Omega\)上的一個概率測度，如果它滿足下列三條公理：

? 公理1 \(P(\Omega)=1\);

? 公理2 對任意事件\(A\)，有\(P(A)\ge 0\);

? 公理3 對任意可數個兩兩互不相容的事件\(A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots,\)有

其中，對任意給定的具體事件\(A\)，函數值\(P(A)\)稱為事件\(A\)的概率。

一個具有概率測度\(P(\cdot)\)的樣本空間\(\Omega\)稱為一個概率空間，記作\((\Omega,\mathscr{F},P)\)。

性質

1. \(P(\varnothing)=0\)

2. \(P(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i)=\sum\limits_{i=1}^n P(A_i)\)

3. \(P(\overline{A}) = 1-P(A)\)

4. \(P(A-B) = P(A)-P(AB)\)

5. \(0\le P(A)\le1\)

6. \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\)

注:

\(P(A)=0\)不代表事件\(A\)不能發生。

舉例：幾何概型中，無窮線上取一點，概率為\(\frac{1}{\infty}=0\)，卻是可能發生的。

常用記法與轉換

• \(B-A=B\overline{A}\)

• \(B-A=B-AB\)

• \(B=AB+\overline{A}B\)

例題

已知\(P(A)=0.4,P(B)=0.25,P(A-B)=0.25\)，求\(P(AB),P(A\cup B),P(B-A),P(\overline{A}\overline{B})\).

解:

根據性質4，\(P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.4-P(AB)=0.25\)

所以\(P(AB)=0.4-0.25=0.15\)

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.25-0.15=0.5\)

\(P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.25-0.15=0.1\)

\(P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A+B})\)（德摩根律）

\(\quad\quad\quad\ =1-P(A+B)=1-P(A\cup B)=1-0.5=0.5\)

使用教材：
《概率論與數理統計》第四版 中國人民大學 龍永紅 主編 高等教育出版社