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[NOIP2011 提高組] 計算系數 題目復制:

題目描述

給定一個多項式 \((by+ax)^k\)，請求出多項式展開后 \(x^n\times y^m\) 項的系數。

輸入格式

輸入共一行，包含 \(5\) 個整數，分別為 \(a,b,k,n,m\)，每兩個整數之間用一個空格隔開。

輸出格式

輸出共一行，包含一個整數，表示所求的系數。

這個系數可能很大，輸出對 \(10007\) 取模后的結果。

樣例 #1

樣例輸入 #1

1 1 3 1 2

樣例輸出 #1

3

提示

【數據范圍】

對于 \(30\%\) 的數據，有 $ 0\le k\le 10$。

對于 \(50\%\) 的數據，有 $ a=1\(，\)b=1$。

對于 \(100\%\) 的數據，有 \(0\le k\le 1000\)，\(0\le n,m\le k\)，\(n+m=k\)，\(0\le a,b\le 10^6\)。

noip2011 提高組 day2 第 1 題。

本題的解題方式主要是依據二項式定理:

其中每個 \(\binom{n}{k}\) 為一個稱作二項式系數的特定正整數，其等于 \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\) 。這個公式也稱二項式公式或二項恒等式。使用求和符號，可以把它寫作

直接模仿我剛學會的二項式定理,帶入,可以得出：

而組合數可以遞推的求：

直接模擬:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>

using namespace std;

// 快速冪，寫模板
long long pow_fast(long long x, long long n) {
	if(n==0) {
		return 1;
	}
	long long t = pow_fast(x, n/2)%10007;
	if(n&1) {
		return t*t%10007*x%10007;
	} else {
		return t*t%10007;
	}
}

// 存儲遞推后的組合數
long long c[1005][1005] = {};

int main() {
	int a, b, k, n, m;
	cin >> a >> b >> k >> n >> m;
	
	// 初始化
	c[0][0] = c[1][0] = c[1][1] = 1;
	// 遞推求組合數
	for(int i=2; i<=k; i++) {
		for(int j=0; j<=i; j++) {
			if(j==0) {
				c[i][j] = 1;
			} else {
				c[i][j] = (c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%10007;
			}
		}
	}
	// 直接輸出
	cout << c[k][n]*pow_fast(a, n)%10007*pow_fast(b, m)%10007 << endl;
	return 0;
}

練習 \(\LaTeX\) 真是有點難度，入門不容易而已