1. 正態分布的定義

正態分布（Normal Distribution），又稱為高斯分布（Gaussian Distribution） ，是一種在統計學和概率論中最重要的連續概率分布。它廣泛應用于自然科學、社會科學、工程、金融等領域。

正態分布的概率密度函數（PDF）如下：

其中：

• \(x\)：隨機變量，表示數據點
• \(\mu\)：均值（mean），即數據的中心
• \(\sigma^2\)：方差（variance），表示數據的離散程度
• \(\sigma\)（標準差，standard deviation）：\(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\)

2. 正態分布的參數解釋

在正態分布中，有兩個重要的參數：均值 \(\mu\) 和 方差 \(\sigma^2\)。

（1）均值 \(\mu\)

• 決定正態分布的中心位置。
• 直觀來說，它表示數據的平均值，即數據的集中趨勢。
• 若 \(\mu\) 變大，整個分布會向右平移；若 \(\mu\) 變小，分布會向左平移。

（2）方差 \(\sigma ^2\) 與標準差 $\sigma $

• 決定正態分布的寬度（離散程度）。
• 方差越大（即標準差越大），數據的波動性越大，分布曲線越“扁平”；方差越小，數據越集中，分布曲線越“陡峭”。

標準差的影響示意：

• 當 \(\sigma\) 較小時，數據點更集中于均值附近，分布更窄。
• 當 \(\sigma\) 較大時，數據點更分散，分布更寬。

3. 正態分布的性質

正態分布有以下重要的數學性質：

（1）對稱性

正態分布是關于均值 \(\mu\) 對稱的，即：

這意味著數據左右分布是均勻的。

（2）68-95-99.7 經驗法則

對于任意正態分布：

• 約 68% 的數據落在 \(\mu ± \sigma\) 區間內。
• 約 95% 的數據落在 \(\mu ± 2\sigma\) 區間內。
• 約 99.7% 的數據落在 \(\mu ± 3\sigma\) 區間內。

這說明大部分數據點會集中在均值附近，離均值越遠的點出現的概率越小。

（3）標準正態分布

當正態分布的均值 μ=0，標準差 σ=1 時，我們稱其為標準正態分布（Standard Normal Distribution） ，記作：

標準正態分布的概率密度函數為：

其中，\(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\) 為標準化變量。

標準正態分布的分布曲線是對稱的“鐘形曲線”，其均值為 0，標準差為 1，廣泛用于統計推斷，如計算 z-score（標準分數）。

4. 正態分布的計算

在實際應用中，我們經常需要計算某個數值 x 在正態分布中的概率。通常有以下兩種方法：

（1）直接計算概率密度

使用公式：

（2）標準化計算

由于直接計算積分較難，我們可以使用標準正態分布表：

• 先計算 標準化變量（Z-score）：

  \[z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

• 然后查詢標準正態分布表，獲取累積分布函數（CDF）值，即：

  \[P(X \leq x) = P(Z \leq z) \]

• 對于非標準正態分布，可以通過變換 Z 來計算概率。

5. 應用案例

假設我們測量一批產品的重量，重量的分布服從正態分布，均值為50克，標準差為5克。我們希望可視化這些產品的重量分布，并計算重量在45到55克范圍內的概率。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.size'] = 14
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft Yahei']
from scipy.stats import norm

#參數設置
mu = 50 # 均值
sigma = 5 # 標準差

#生成正態分布數據
X = np.linspace(mu - 4 * sigma, mu + 4 * sigma, 1000)
y = norm.pdf(X, mu, sigma)

#可視化正態分布
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(X, y)
plt.title('正態分布曲線')
plt.xlabel('重量(克)')
plt.ylabel('概率密度')
plt.show()