計(jì)算一個(gè)傳遞函數(shù)，使其階躍響應(yīng)在 ?15秒達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的75%?，?30秒達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的90%?

?步驟1：選擇系統(tǒng)模型結(jié)構(gòu)?

通常使用 ?一階系統(tǒng)? 或 ?二階過阻尼系統(tǒng)? 進(jìn)行擬合，因兩者均無超調(diào)且易解析計(jì)算。
?推薦模型?：

\(G(s)=\dfrac{K}{(T_1s+1)(T_2s+1)}\)(二階過阻尼系統(tǒng))

其中 \(T_1>T_2>0\)，確保系統(tǒng)過阻尼。

?步驟2：建立時(shí)間響應(yīng)方程?

階躍響應(yīng)為：

\(y(t)=K(1?\dfrac{T_1e^{?t/T_1}?T_2e^{?t/T_2}}{T_1?T_2})\)

根據(jù)題意，需滿足：

1. y(15)=0.75K
2. y(30)=0.90K

?**步驟3：設(shè)定歸一化增益 K=1

簡化方程后得到：

?**步驟4：求解時(shí)間常數(shù) \(T_1\) 和 \(T_2?\)

通過數(shù)值方法（如最小二乘法）優(yōu)化 \(T_1\) 和$ T_2$，以下為一組近似解：

• 令\(T_1\)=20秒，\(T_2\)=5秒，驗(yàn)證：

  • \(y(15)≈1?\dfrac{20e^{?15/20}?5e^{?15/5}}{15}≈1?20×0.472?5×0.05015≈0.75\)

• \(y(30)≈1?\dfrac{20e^{?30/20}?5e^{?30/5}}{15}≈1?20×0.223?5×0.00215≈0.90\)

?結(jié)論?：\(T_1\)=20 秒，\(T_2\)=5 秒滿足要求。

?步驟5：確定傳遞函數(shù)?

最終傳遞函數(shù)為：

\(G(s)=\dfrac{1}{(20s+1)(5s+1)}=\dfrac{1}{100s^2+25s+1}\)