• 此為課題組所指導(dǎo)本科生和低年級(jí)碩士生學(xué)習(xí)組合優(yōu)化問(wèn)題匯報(bào)
• 所用教材：北京大學(xué)屈婉玲教授《算法設(shè)計(jì)與分析》
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1. 最大團(tuán)問(wèn)題的定義及子圖與補(bǔ)圖的描述

1.1. 最大團(tuán)問(wèn)題的定義

在一個(gè)無(wú)向圖 \(G = (V, E)\) 中，團(tuán)（Clique） 是一個(gè)完全子圖，即該子圖中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有邊。最大團(tuán)（Maximum Clique） 是所有團(tuán)中包含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)，最大團(tuán)問(wèn)題即是尋找無(wú)向圖中包含最多頂點(diǎn)的完全子圖。

數(shù)學(xué)表述：

• 輸入： 給定無(wú)向圖 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 是頂點(diǎn)集，\(E\) 是邊集。
• 目標(biāo)： 找到一個(gè)最大子集 \(V' \subseteq V\) 使得 \(V'\) 中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有邊，即 \(V'\) 形成一個(gè)完全子圖。

1.2. 子圖的定義

• 子圖（Subgraph） 是從原圖 \(G = (V, E)\) 中選取部分頂點(diǎn)和與這些頂點(diǎn)相關(guān)的邊構(gòu)成的新圖。

  形式化定義：

  • 設(shè)子圖為 \(G' = (V', E')\)，則 \(V' \subseteq V\)，且 \(E' \subseteq E\)。
  • \(E'\) 包含的邊只能是與 \(V'\) 中的頂點(diǎn)相連的那些邊。

子圖的作用：
通過(guò)選取圖的一部分頂點(diǎn)和邊，可以分析圖的局部結(jié)構(gòu)，減少計(jì)算復(fù)雜度，從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程。

1.3. 補(bǔ)圖的定義

• 補(bǔ)圖（Complement Graph） 是與原圖的邊關(guān)系互補(bǔ)的圖。對(duì)于原圖 \(G = (V, E)\)，其補(bǔ)圖 \(\bar{G} = (V, E')\) 具有相同的頂點(diǎn)集 \(V\)，但邊集不同。補(bǔ)圖中的邊集 \(E'\) 是完全圖中的邊集關(guān)于 \(G\) 的補(bǔ)集。

  數(shù)學(xué)表述：

  • 在原圖 \(G\) 中，若兩個(gè)頂點(diǎn)之間有邊 \((u, v) \in E\)，則在補(bǔ)圖 \(\bar{G}\) 中沒(méi)有邊，即 \((u, v) \notin E'\)。
  • 反之，若 \((u, v) \notin E\)，則 \((u, v) \in E'\)。

  形式化：

  • \(E' = E_K \setminus E\)，其中 \(E_K\) 是包含所有可能頂點(diǎn)對(duì)的完全圖的邊集。

補(bǔ)圖的作用：
補(bǔ)圖的定義使得我們可以將團(tuán)問(wèn)題與獨(dú)立集問(wèn)題建立聯(lián)系，從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程。

1.4. 點(diǎn)獨(dú)立集的定義

• 點(diǎn)獨(dú)立集（Independent Set） 是圖 \(G = (V, E)\) 中一個(gè)頂點(diǎn)的子集 \(A \subseteq V\)，且該子集中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都沒(méi)有邊。

  數(shù)學(xué)表述：

  • 對(duì)于 \(u, v \in A\)，有 \((u, v) \notin E\)。

獨(dú)立集的直觀理解：
獨(dú)立集中的頂點(diǎn)互不相連，因此在某些應(yīng)用中，可以用獨(dú)立集來(lái)表示不沖突的元素或任務(wù)。

1.5. 最大點(diǎn)獨(dú)立集的定義

• 最大點(diǎn)獨(dú)立集（Maximum Independent Set） 是包含最多頂點(diǎn)的獨(dú)立集。

  數(shù)學(xué)表述：

  • 找到一個(gè)最大子集 \(A \subseteq V\)，使得 \(A\) 是獨(dú)立集，即任意兩個(gè)頂點(diǎn) \(u, v \in A\) 都滿足 \((u, v) \notin E\)。

應(yīng)用：
最大點(diǎn)獨(dú)立集常用于調(diào)度、資源分配等問(wèn)題，表示一組互不沖突的選擇。

1.6. 最大團(tuán)與補(bǔ)圖的關(guān)系

• 最大團(tuán)與補(bǔ)圖中的最大點(diǎn)獨(dú)立集的等價(jià)性：
  • 在補(bǔ)圖 \(\bar{G}\) 中，尋找最大點(diǎn)獨(dú)立集的問(wèn)題等價(jià)于在原圖 \(G\) 中尋找最大團(tuán)。
  • 原因： 如果兩個(gè)頂點(diǎn)在補(bǔ)圖中沒(méi)有邊，則在原圖中它們之間有邊。因此，原圖中的最大團(tuán)對(duì)應(yīng)于補(bǔ)圖中的最大點(diǎn)獨(dú)立集。

2. 最大團(tuán)問(wèn)題的應(yīng)用場(chǎng)景

2.1. 應(yīng)用領(lǐng)域概述

最大團(tuán)問(wèn)題在多個(gè)領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用，包括但不限于：

• 編碼設(shè)計(jì)：解決通信信道中的字符混淆問(wèn)題，優(yōu)化傳輸過(guò)程。
• 故障診斷：識(shí)別系統(tǒng)中的故障模塊，確保系統(tǒng)可靠運(yùn)行。
• 計(jì)算機(jī)視覺(jué)與聚類分析：分析圖像數(shù)據(jù)中的密集關(guān)系并進(jìn)行模式識(shí)別。
• 經(jīng)濟(jì)學(xué)與移動(dòng)通信：用于復(fù)雜系統(tǒng)的優(yōu)化分析，如網(wǎng)絡(luò)布局和資源分配。
• VLSI（大規(guī)模集成電路）設(shè)計(jì)：提高電路布局的效率，減少?zèng)_突和干擾。

2.2. 混淆圖與編碼設(shè)計(jì)的描述

在通信信道中，由于噪音的存在，字符的傳輸可能會(huì)發(fā)生混淆。例如，字符 \(u\) 在傳輸過(guò)程中可能被誤解為字符 \(v\)。為了描述這種情況，我們使用混淆圖（Confusion Graph）。

• 混淆圖定義：
  給定混淆圖 \(G = (V, E)\)，其中 \(V\) 為字符集，\(E\) 為邊集。如果 \((u, v) \in E\)，則表示字符 \(u\) 和 \(v\) 在傳輸過(guò)程中容易混淆。

在上述圖中，字符 \(u\) 與 \(v\)，\(i\) 與 \(j\) 之間的邊表示它們?cè)谠胍舡h(huán)境中可能會(huì)被混淆。

2.3. 字符串混淆與編碼設(shè)計(jì)優(yōu)化

在實(shí)際傳輸過(guò)程中，通常使用字符串而非單個(gè)字符來(lái)傳遞信息。為了描述字符串間的混淆，我們引入以下條件：

• 字符串混淆條件：
  字符串 \(xy\) 與 \(uv\) 發(fā)生混淆，當(dāng)且僅當(dāng)以下條件之一成立：
  1. \(x\) 與 \(u\) 混淆，且 \(y\) 與 \(v\) 混淆。
  2. \(x = u\) 且 \(y\) 與 \(v\) 混淆。
  3. \(x\) 與 \(u\) 混淆，且 \(y = v\)。

如圖所示，圖 \(G\) 和 \(H\) 的正規(guī)積用于描述字符串混淆的關(guān)系：

在上述圖中，不同字符串之間的邊表示它們可能發(fā)生混淆。

2.4. 混淆圖中的最大點(diǎn)獨(dú)立集

在混淆圖中，為了減少噪音對(duì)傳輸?shù)母蓴_，我們需要找到最大點(diǎn)獨(dú)立集，即字符之間相互獨(dú)立且不會(huì)發(fā)生混淆的最大集合。

• 最大點(diǎn)獨(dú)立集的作用：
  通過(guò)在混淆圖中找到最大點(diǎn)獨(dú)立集，確保這些字符之間沒(méi)有邊相連，從而避免混淆。
  這意味著在編碼設(shè)計(jì)時(shí)，我們可以通過(guò)選擇混淆圖中的最大點(diǎn)獨(dú)立集來(lái)優(yōu)化傳輸?shù)目煽啃浴?/li>

3. 使用分支限界法解決最大團(tuán)問(wèn)題

3.1. 最大團(tuán)問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述

問(wèn)題定義：

給定無(wú)向圖 \(G = (V, E)\)，其中：

• 頂點(diǎn)集 \(V = \{1, 2, \ldots, n\}\)，
• 邊集為 \(E\)。

目標(biāo)：
求 \(G\) 中的最大團(tuán)。

解的形式：

解可以表示為一個(gè) \(0-1\) 向量 \(\langle x_1, x_2, \ldots, x_n \rangle\)，其中：

• \(x_k = 1\) 當(dāng)且僅當(dāng)頂點(diǎn) \(k\) 屬于最大團(tuán)。

3.2. 蠻力算法的描述

蠻力算法：

• 對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)子集進(jìn)行檢查，判斷該子集是否構(gòu)成團(tuán)，即檢查其中每對(duì)頂點(diǎn)之間是否都有邊。
• 復(fù)雜度：
  對(duì)于 \(n\) 個(gè)頂點(diǎn)，有 \(2^n\) 個(gè)子集，故需要至少指數(shù)時(shí)間來(lái)完成計(jì)算。

3.3. 分支限界算法的設(shè)計(jì)

搜索樹(shù)結(jié)構(gòu)：

• 搜索樹(shù)為子集樹(shù)，每個(gè)結(jié)點(diǎn) \(\langle x_1, x_2, \ldots, x_k \rangle\) 表示已經(jīng)考察了頂點(diǎn) \(1, 2, \ldots, k\)。
• 若 \(x_i = 1\)，則表示頂點(diǎn) \(i\) 在當(dāng)前的團(tuán)中；否則表示不在團(tuán)中。

約束條件：

新加入的頂點(diǎn)必須與當(dāng)前團(tuán)中的所有頂點(diǎn)有邊相連。

界：

當(dāng)前已找到的極大團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)，作為后續(xù)計(jì)算的界限，用于剪枝。

3.4. 代價(jià)函數(shù)的定義

代價(jià)函數(shù)的設(shè)定：

• 代價(jià)函數(shù)（Cost Function） 用于估計(jì)當(dāng)前團(tuán)可能擴(kuò)展為極大團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)上界：
  \[F = C_n + (n - k) \]
  其中：
  • \(C_n\) 為當(dāng)前團(tuán)中的頂點(diǎn)數(shù)（初始為 \(0\)），
  • \(k\) 為當(dāng)前搜索的深度或?qū)訑?shù)。

代價(jià)函數(shù)的解釋：

• 如果當(dāng)前已考察了 \(k\) 個(gè)頂點(diǎn)，其中有 \(C_n\) 個(gè)頂點(diǎn)在團(tuán)內(nèi)，則剩余未考察的頂點(diǎn)數(shù)為 \(n - k\)。
• 理論上，最理想的情況是所有剩余的 \(n - k\) 個(gè)頂點(diǎn)全部可以加入團(tuán)。因此，我們將上界設(shè)定為：
  \[F = C_n + (n - k) \]
  即：上界 = 已加入團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù) + 剩余未考察的頂點(diǎn)數(shù)。

粗糙性分析：

• 這個(gè)估計(jì)較為粗糙，因?yàn)槲纯疾斓?\(n - k\) 個(gè)頂點(diǎn)中，可能有很多頂點(diǎn)不能加入團(tuán)。因此，該上界通常會(huì)偏高。
• 優(yōu)點(diǎn)： 這種代價(jià)函數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)單，能快速估計(jì)上界。
• 缺點(diǎn)： 由于估計(jì)粗糙，在實(shí)際搜索過(guò)程中，裁剪掉的搜索樹(shù)空間較少，因此提高效率的作用有限。

最壞情況分析：

• 在最壞情況下，即使使用了分支限界法，可能也無(wú)法顯著減少搜索空間，導(dǎo)致與蠻力算法的復(fù)雜度相同：
  \[O(n \cdot 2^n) \]
  這表明，即使使用該算法，也可能遇到一些實(shí)例無(wú)法大幅裁剪結(jié)點(diǎn)，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間接近蠻力法的水平。

4. 實(shí)例推導(dǎo)過(guò)程

圖的結(jié)構(gòu)及初始定義

圖結(jié)構(gòu)：

• 頂點(diǎn)：\(\{1, 2, 3, 4, 5\}\)
• 邊：根據(jù)圖中連線給定。

表示方法：

每個(gè)頂點(diǎn) \(x_i = 1\) 表示該頂點(diǎn)進(jìn)入團(tuán)，\(x_i = 0\) 表示該頂點(diǎn)不在團(tuán)中。
左子樹(shù)表示 \(x_i = 1\)，右子樹(shù)表示 \(x_i = 0\)。

變量說(shuō)明：

• B：界（已找到團(tuán)的最大頂點(diǎn)數(shù)）。
• F：代價(jià)函數(shù)值（估計(jì)當(dāng)前團(tuán)的最大擴(kuò)展可能）。

搜索樹(shù)推導(dǎo)步驟

1. 起點(diǎn)：選擇頂點(diǎn) 1

   • 左分支：\(x_1 = 1\)，頂點(diǎn) 1 進(jìn)入團(tuán)。
   • 右分支：\(x_1 = 0\)，頂點(diǎn) 1 不在團(tuán)中。

2. 第二步：處理頂點(diǎn) 2

   • 選擇 左分支，即 \(x_2 = 1\)，頂點(diǎn) 2 加入團(tuán)。
     • 因?yàn)?1 號(hào)與 2 號(hào)頂點(diǎn)之間有邊，滿足團(tuán)的條件。

3. 第三步：處理頂點(diǎn) 3

   • 檢查后發(fā)現(xiàn)：頂點(diǎn) 3 與頂點(diǎn) 2 無(wú)邊，不滿足團(tuán)的條件。
     • 右分支：\(x_3 = 0\)，頂點(diǎn) 3 不在團(tuán)中。

4. 第四步：處理頂點(diǎn) 4

   • 左分支：\(x_4 = 1\)，頂點(diǎn) 4 可以加入團(tuán)，因?yàn)樗c頂點(diǎn) 1、2 均有邊。

5. 第五步：處理頂點(diǎn) 5

   • 頂點(diǎn) 5 無(wú)法加入團(tuán)，因?yàn)樗c頂點(diǎn) 2 無(wú)邊。
     • 右分支：\(x_5 = 0\)。

6. 第一個(gè)可行解 (a)：

   • 得到團(tuán) \(\{1, 2, 4\}\)，頂點(diǎn)數(shù)為 3，對(duì)應(yīng)的界 \(B = 3\)。

考慮右分支：4 號(hào)頂點(diǎn)不進(jìn)團(tuán)的情況

1. 回到第 4 步：4 號(hào)頂點(diǎn)不進(jìn)團(tuán)
   • 右分支：\(x_4 = 0\)，頂點(diǎn) 4 不在團(tuán)中。
   • 在這種情況下，團(tuán)為 \(\{1, 2\}\)，頂點(diǎn)數(shù)為 2。代價(jià)函數(shù) \(F = 2 + 1 = 3\)。由于該解不優(yōu)于當(dāng)前界 \(B = 3\)，無(wú)需進(jìn)一步搜索。

回溯與繼續(xù)搜索

1. 回溯到頂點(diǎn) 2：

   • 在之前的路徑中，頂點(diǎn) 1 和 2 已經(jīng)被選擇進(jìn)入團(tuán)。現(xiàn)在嘗試回溯到頂點(diǎn) 2，選擇其右分支，即 \(x_2 = 0\)，頂點(diǎn) 2 不進(jìn)入團(tuán)。

2. 繼續(xù)處理頂點(diǎn) 3、4、5：

   • 由于頂點(diǎn) 1 已經(jīng)在團(tuán)中，現(xiàn)在可以選擇頂點(diǎn) 3、4 和 5 檢查它們是否可以加入團(tuán)：
     • 頂點(diǎn) 3：可以進(jìn)入團(tuán)，因?yàn)樗c頂點(diǎn) 1 之間有邊。
       • 左分支：\(x_3 = 1\)，頂點(diǎn) 3 進(jìn)入團(tuán)。
     • 頂點(diǎn) 4：可以進(jìn)入團(tuán)，因?yàn)樗c頂點(diǎn) 1 和 3 之間都有邊。
       • 左分支：\(x_4 = 1\)，頂點(diǎn) 4 進(jìn)入團(tuán)。
     • 頂點(diǎn) 5：也可以進(jìn)入團(tuán)，因?yàn)樗c頂點(diǎn) 3 和 4 都有邊。
       • 左分支：\(x_5 = 1\)，頂點(diǎn) 5 進(jìn)入團(tuán)。

3. 生成最大團(tuán)：

   • 新的團(tuán)為 \(\{1, 3, 4, 5\}\)，頂點(diǎn)數(shù)為 4。

4. 更新界 \(B\)：

   • 當(dāng)前找到的團(tuán)頂點(diǎn)數(shù)為 4，因此更新界 \(B = 4\)。

剪枝與停止搜索

1. 剪枝判斷：
   • 當(dāng)后續(xù)代價(jià)函數(shù) \(F\) 估計(jì)值不超過(guò)當(dāng)前界 \(B = 4\) 時(shí)，不再繼續(xù)搜索。
   • 所有其他可能路徑的代價(jià)函數(shù)值均不超過(guò) \(F = 4\)，因此停止搜索。

搜索樹(shù)總結(jié)

• 第一條路徑： \(\{1, 2, 4\}\)，界 \(B = 3\)。
• 第二條路徑： \(\{1, 3, 4, 5\}\)，更新界 \(B = 4\)。

最終結(jié)果

• 最大團(tuán)： \(\{1, 3, 4, 5\}\)，頂點(diǎn)數(shù)為 4。

5. 小結(jié)

5.1. 最大團(tuán)問(wèn)題與點(diǎn)獨(dú)立集的關(guān)系

• 最大團(tuán)問(wèn)題與點(diǎn)獨(dú)立集問(wèn)題之間存在緊密的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
  • 在補(bǔ)圖中尋找最大點(diǎn)獨(dú)立集，等價(jià)于在原圖中尋找最大團(tuán)。
  • 通過(guò)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解補(bǔ)圖中的獨(dú)立集，從而簡(jiǎn)化求解過(guò)程。

5.2. 分支限界算法的設(shè)計(jì)

樹(shù)的結(jié)構(gòu)：

• 子集樹(shù)：分支限界法使用子集樹(shù)結(jié)構(gòu)，對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行逐一選擇（進(jìn)入團(tuán)或不進(jìn)入團(tuán)），從而構(gòu)造搜索空間。

分支約束條件：

• 新加入團(tuán)的頂點(diǎn)必須與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)都有邊相連，否則不進(jìn)行進(jìn)一步分支。

代價(jià)函數(shù)與界的設(shè)定：

• 代價(jià)函數(shù)估計(jì)當(dāng)前團(tuán)可能擴(kuò)展為極大團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)上界：

  \[F = C_n + (n - k) \]
  • \(C_n\) 為當(dāng)前團(tuán)中的頂點(diǎn)數(shù)（初始為 0）。
  • \(k\) 為當(dāng)前已考察的層數(shù)（深度）。

• 界 \(B\)：找到的最大團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)用于更新界，幫助剪枝。

5.3. 時(shí)間復(fù)雜度分析

• 最壞情況時(shí)間復(fù)雜度：
  \[O(n \cdot 2^n) \]
  • 即使使用了分支限界法，在某些最壞情況下，仍然需要指數(shù)級(jí)時(shí)間搜索所有可能子集。

5.4. 小結(jié)與展望

• 分支限界算法通過(guò)使用剪枝策略，在保證找到最優(yōu)解的前提下減少了計(jì)算量，提高了算法的實(shí)際效率。
• 最大團(tuán)問(wèn)題在編碼設(shè)計(jì)、計(jì)算機(jī)視覺(jué)、故障診斷等多個(gè)領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用，且求解該問(wèn)題為解決其他復(fù)雜問(wèn)題提供了理論支持。