浮點(diǎn)數(shù)的表示方法

基本知識(shí)

定義

浮點(diǎn)數(shù)是一串 0 和 1 構(gòu)成的位序列(bit sequence)，從邏輯上用三元組{\(S\),\(E\),\(M\)}表示任意的實(shí)數(shù) \(??\) 可如下表示：

注意：IEEE 中浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù) \(??\) 中僅記錄了小數(shù)位（默認(rèn)省略了整數(shù)位1），所以上述公式中的 \(??\) 實(shí)際值為 \(??+1\)，另外由于該實(shí)數(shù)使用二進(jìn)制表示，所以基數(shù) \(??\) 為 2
綜上所述，在 IEEE 754 標(biāo)準(zhǔn)的前提下，任意一個(gè)實(shí)數(shù) \(??\)，可表示為如下的形式

類(lèi)型

關(guān)鍵字 （什么叫做 數(shù)符，階碼，尾數(shù)）

• 數(shù)符：符號(hào)位，0正1負(fù)
• 階碼：科學(xué)計(jì)數(shù)法中的指數(shù)部分（補(bǔ)碼表示）
• 尾數(shù)：科學(xué)計(jì)數(shù)法中的尾數(shù)部分（即小數(shù)點(diǎn)后面的部分。因?yàn)樾?shù)點(diǎn)前面的整數(shù)部分僅可能是1，可以將這個(gè)1忽略掉以減少不必要的存儲(chǔ)空間）

關(guān)于 float 類(lèi)型階碼偏移值為什么是 127 而不是 128 的解釋

• 預(yù)備知識(shí)
  階碼在浮點(diǎn)數(shù)中占 8 位，對(duì)于 8 位的有符號(hào)整數(shù)，其補(bǔ)碼可表示的范圍為：[-128, 127]，但為了方便比較直接比較階碼的大小，會(huì)將實(shí)際值偏移固定數(shù)值，使得存儲(chǔ)值均為非負(fù)整數(shù)，于是目的為存儲(chǔ) 8 位的有符號(hào)整數(shù)便改為了存儲(chǔ) 8 位無(wú)符號(hào)整數(shù)，其補(bǔ)碼可表示的范圍為：[0, 255]，IEEE 754 的規(guī)定：若階碼全為 0 或全 1 要進(jìn)行特殊處理，所以 [0, 255] 中的數(shù)值 0 和 255 被排除，剩下的無(wú)符號(hào)數(shù)字范圍為：[1, 254]，為了可表示的正數(shù)和負(fù)數(shù)范圍均衡，IEEE 754 設(shè)置移碼為 127，則實(shí)際可表示的指數(shù)范圍為：[-126, 127]

• 疑問(wèn)解答
  若設(shè)置偏移值為 128，指數(shù)的實(shí)際范圍為 [-127, 126]，也能達(dá)到正負(fù)數(shù)均衡的要求，但：
  移碼為 127 與 128 相比多表示的指數(shù)是 +127，而少表示的指數(shù)是 -127，實(shí)際生活中 \(1.x?2^{127}\) (\(x\) 表示任意數(shù)量的任意數(shù)字) 遠(yuǎn)比 \(1.x?2^{-127}\) 要有意義的多，畢竟我們接觸的更多的是宏觀世界。

階碼全0和全1

• 階碼全為 0 (非規(guī)格化數(shù))
  • 尾數(shù)為0，則表示該數(shù)為 +0或-0，符號(hào)由符號(hào)位決定
  • 尾數(shù)非0，此時(shí)隱藏的整數(shù)位不再是1，而是零，此時(shí)可用于表示比規(guī)格化數(shù)更小的數(shù)
• 階碼全為 1
  • 尾數(shù)為0，則表示該數(shù)為 \(+\infty\)或\(-\infty\)，符號(hào)由符號(hào)位決定
  • 尾數(shù)非0，這樣的數(shù)稱(chēng)之為 NaN (Not a Number), 1/0的結(jié)果就是一個(gè)典型的 NaN
• 非規(guī)格化數(shù)
  • 在上文中我們說(shuō)到，浮點(diǎn)數(shù)默認(rèn)隱藏的整數(shù)位為1，在這種情況下怎樣表示 0 呢，很明顯無(wú)法表示，所以這里引出非規(guī)格化數(shù)來(lái)處理。非規(guī)格化的數(shù)的兩個(gè)作用為：
    • 處理 0 的問(wèn)題
    • 處理比規(guī)格化數(shù)更小的數(shù)值

單精度浮點(diǎn)數(shù)的有效數(shù)字問(wèn)題

舉個(gè)栗子

1. 將十進(jìn)制數(shù) 8.125 轉(zhuǎn)化為單精度的浮點(diǎn)數(shù)表示
   8.125 的二進(jìn)制表示為 1000.001
   科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為 \(1.000001*2^3\)，對(duì)于該數(shù)，階碼實(shí)際值為 3，偏移之后的值為 \(3 + 127 = 130\)，130轉(zhuǎn)為二進(jìn)制數(shù)為 10000010，尾數(shù)部分為 000001，首位符號(hào)位為0，得到其二進(jìn)制表示為：
   0 10000010 00000100000000000000000
   注：尾數(shù)位不足23位則在后面補(bǔ)零，階碼不足8位則在前面補(bǔ)零，小數(shù)后面補(bǔ)零不影響小數(shù)的值，整數(shù)前面補(bǔ)零不會(huì)影響整數(shù)的值。

2. 計(jì)算單精度浮點(diǎn)數(shù)所能表示的最大正整數(shù)
   當(dāng)符號(hào)位為0，小數(shù)位全為 1，實(shí)際指數(shù)為 127 時(shí)，得到最大正值，可知最大正值為\(a=(1+ (1 - 2^{-23}))*2^{127}=3.4028234663852886*10^{38}\)

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在線浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)換
十進(jìn)制整數(shù)以及小數(shù)轉(zhuǎn)二進(jìn)制
階碼全0和全1的浮點(diǎn)數(shù)