引例：

\(證明:圓內接四邊形中正方形的面積最大\)

$在圓上順時針任取四點 A , B , C , D 構成凸四邊形，固定對角線 AC , 分別令 B , D 在對應的圓弧上自由滑動 . $
$\because S_{四邊形ABCD}=\frac {(d_{B-AC}+d_{D-AC})\cdot |AC|}2 $
$ \therefore 最大化S_{四邊形ABCD}\Rightarrow 最大化(d_{B-AC}+d_{D-AC}) \Rightarrow 分別最大化 d_{B-AC} 與 d_{D-AC} $
\(顯然，當 B , D 分別取到對應圓弧上的平分點時兩點到 AC 的距離同時最大\)
\(\therefore 對于任意對角線AC， BD 垂直平分 AC 時，即BD與直徑重合時，S_{四邊形ABCD}最大\)
\(\therefore 對于所有固定了對角線AC的四邊形ABCD來說，BD一定與直徑重合\)
\(\therefore 圓內接四邊形中面積最大的那個的對角線BD也一定與直徑重合\)
\(現在調整A,C的位置，使得|AC|值最大，顯然AC也與直徑重合時，|AC|最大\)
\(\therefore 對角線AC，BD相互垂直平分 \Rightarrow 四邊形ABCD是正方形\) \(QED\)

牛刀小試

\(正數 a , b , c 滿足 a+b+c=1 ,求a^2+b^2+2c^2 的最小值\)

拓展探究（選做）

\(長度為n的實數列\{ a_n\}滿足\forall i\in[1,n]有a_i\in[-1,1],且\sum_{i=1}^n a_i=0\)

\((1)若x>0,\Delta x \not= 0,試比較2x^3與(x+\Delta x)^3+(x-\Delta x)^3的大小\)

\((2)證明:\sum_{i=1}^n a_i^3 <\frac{n}3\)