1. 高斯濾波原理

根據數學知識，一維高斯函數可以描述為：

在圖像處理中，選定X方向上長度為3的窗口，令δ=1，中心坐標為1，由上述公式，其卷積核(Xa,X,Xb)可以如下計算：

Xa = exp(-1*(0-1)(0-1)/(2*1*1))= 0.606530659712633
X = exp(-1*(1-1)(1-1)/(2*1*1))= 1
Xb = exp(-1*(2-1)(2-1)/(2*1*1))= 0.606530659712633

可以看到計算過程沒有用到常數部分，是因為需要歸一化，常數部分可以省略：

Sum = Xa + X + Xb = 2.2130613194252668
Xa = Xa/Sum = 0.274068619061197
X = X/Sum = 0.451862761877606
Xb = Xb/Sum = 0.274068619061197

通過OpenCV驗證下上述結果是否正確，OpenCV可以通過函數getGaussianKernel()來實現計算高斯核，運行如下代碼，可以發現兩者的計算結果是一致的。

Mat kernelX = getGaussianKernel(3, 1);
cout << kernelX <<  endl;

2. 圖像二維卷積

上述的推導過程都是一維的，那么二維情況下的卷積核怎么計算呢，其實很簡單，轉置并相乘就可以了：

Mat kernelX = getGaussianKernel(3, 1);
cout << kernelX <<  endl;

Mat kernelY = getGaussianKernel(3, 1);
Mat G = kernelX * kernelY.t();
cout << G << endl << endl << endl;

運行結果：

在得到卷積核之后，將其放到圖像中進行二維卷積，對于原圖像中的一個像素P(x,y)，有如下卷積過程：

將窗口覆蓋的對應位置的像素值相乘后相加，即可得到新圖像對應位置的像素值Q(x,y)。當對圖像所有的像素值都這樣做時，就可以得到濾波后的圖像。由于一般情況下總是順序去卷積的，從左至右，由上而下，所以這個過程就是卷積核的滑動。

當滑動到邊界的時候，就會產生一個問題，就是卷積核對應的位置沒有像素值。這時可以將邊界像素值舍棄（卷積），或者自動填充為0（濾波）。

3. 具體實現

在OpenCV中，可以直接使用GaussianBlur()函數實現高斯濾波,但是為了驗證和學習高斯濾波算法，也可以自己構建高斯卷積核，使用濾波函數filter2D()進行濾波。其具體實現如下：

#include <iostream>
#include <opencv2\opencv.hpp>

using namespace cv;
using namespace std;

int main()
{	
	//從文件中讀取成灰度圖像
	const char* imagename = "C:\\Data\\imgDemo\\lena.jpg";
	Mat img = imread(imagename, IMREAD_GRAYSCALE);
	if (img.empty())
	{
		fprintf(stderr, "Can not load image %s\n", imagename);
		return -1;
	}

	//直接高斯濾波
	Mat dst1;
	GaussianBlur(img, dst1, Size(3, 3), 1, 1);
	
	//自定義高斯濾波器
	Mat kernelX = getGaussianKernel(3, 1);
	Mat kernelY = getGaussianKernel(3, 1);
	Mat G = kernelX * kernelY.t();
	Mat dst2;
	filter2D(img, dst2, -1, G);
	
	//比較兩者的結果
	Mat c;
	compare(dst1, dst2, c, CMP_EQ);

	//
	imshow("原始", img);
	imshow("高斯濾波1", dst1);
	imshow("高斯濾波2", dst2);
	imshow("比較結果", c);
	
	waitKey();

    return 0;
}

可以看到這里分別用GaussianBlur()和filter2D()進行了高斯濾波，并通過compare()函數進行比較。運行結果如下所示，兩者的濾波結果基本一致，說明構建的卷積核是正確的。

4. 參考資料

1.OpenCV實現二維高斯核GaussianKernel
2.opencv3.2.0圖像處理之高斯濾波GaussianBlur API函數
3.OpenCV高斯濾波器詳解及代碼實現