大家好~本課程為“真實感渲染”的線上課程，從0開始，介紹相關的圖形學算法和數學基礎，給出詳細的數學推導、偽代碼和實現代碼，最終帶領大家開發出基于物理的渲染器

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回顧相關課程

• 什么是矩陣？

為什么要學習本課

• 3D中物體有哪些變換？
  答：平移、旋轉、縮放

• 演示相關的變換

• 3D到2D的投影需要進行變換
  

主問題：什么是2D變換

• 如何進行縮放？
  
  

  • 縮放矩陣是多少？
    答： \( \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} s_x & 0 \\ 0 & s_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \)

  • 如何進行反射？
    

    • 反射矩陣是多少？
      答： \( \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \)

• 如何進行旋轉？
  
  默認為繞著原點（0, 0）逆時針旋轉

  • 旋轉矩陣是多少？
    
    \( R_\theta = \begin{bmatrix} ? & ? \\ ? & ? \end{bmatrix} \)
    答：\( R_\theta = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \)

推導過程如下圖所示：

通過變換(1,0)點，可以得到矩陣的A、C值：

同理，通過變換(0,1)點，可以得到矩陣的B、D值

• 什么是線性變換？
  答：

• 縮放和旋轉是否屬于線性變換？
  答：是

• 如何進行平移？
  
  

  • 它的表達式是什么？
    答：

• 如何進行平移？
  • 能夠得到2D的平移矩陣嗎？
    答：不能
  • 平移屬于線性變換嗎？
    答：不屬于

主問題：什么是齊次坐標

為什么要引入“齊次坐標”

• 如何才能統一縮放、旋轉、平移為都使用一個矩陣來變換？
  答：引入齊次坐標

• 什么是齊次坐標？
  答：

• 向量+向量=?
  答：向量

• 點-點=?
  答：向量

• 點+向量=?
  答：點

• \( \begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} = ? \\ 其中：w \neq 0 \)
  答：
  \( \begin{bmatrix} x \\ y \\ w \end{bmatrix} = 2D 點： \begin{bmatrix} \frac{x}{w} \\ \frac{y}{w} \\ 1 \end{bmatrix} \)

• 點+點=?
  答：因為相加的結果經過上面的變換后，可變換為點，所以相加的結果為點

• 用加了齊次坐標的矩陣來表達平移的表達式是什么？
  答：

主問題：更多的2D變換有哪些

• 什么是仿射變換？
  答：

• 用齊次坐標后如何修改？
  答：

• 用齊次坐標后，縮放、旋轉、平移的矩陣是什么？
  答：

• 什么是逆變換？
  答：

• 如何進行組合變換？

  • 如何進行下圖的變換？
    

  答：有兩種方式：先位移再旋轉和先旋轉再位移
  

變換的順序對結果有影響！

這里應該使用先旋轉再位移，表達式為：

• 如何進行組合變換？

  • 如何提高性能？
    答：

  • 如何繞一個點旋轉？
    答：

  • 表達式是什么？
    答：

主問題：什么是3D變換

• 什么是3D的齊次坐標？
  答：

• \( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ w \end{bmatrix} = ? \\ 其中：w \neq 0 \)
  答：
  \( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\\ w \end{bmatrix} = 3D 點： \begin{bmatrix} \frac{x}{w} \\ \frac{y}{w} \\ \frac{z}{w} \\ 1 \end{bmatrix} \)

• 什么是3D的仿射變換？
  答：

• 用齊次坐標后如何修改？
  答：

總結

• 請總結本節課的內容？
• 請回答開始的問題？

參考資料

• 閆令琪-變換（二維與三維） 課件

擴展閱讀

• 閆令琪-變換（二維與三維） 課程錄像