真實感渲染：三角函數、向量和矩陣

大家好~本課程為“真實感渲染”的線上課程，從0開始，介紹相關的圖形學算法和數學基礎，給出詳細的數學推導、偽代碼和實現代碼，最終帶領大家開發出基于物理的渲染器

線上課程資料：

本節課錄像回放

加QQ群，獲得ppt等資料，與群主交流討論：106047770

本系列文章為線上課程的復盤，每上完一節課就會同步發布對應的文章

本課程系列文章可進入索引查看：
真實感渲染系列文章索引

為什么要學習本課
主問題：什么是三角函數
主問題：什么是向量
- 結學
主問題：什么是矩陣
- 結學
總結
參考資料

為什么要學習本課

如何在幾何上表示向量的加法？
如何在代數上計算向量的加法？
三角函數、向量、矩陣在圖形學中有哪些應用？

主問題：什么是三角函數

對直角三角形而言，下面的三角函數的值分別是多少？
- sinθ
- cosθ
- tanθ
- cotθ
對任意三角形而言呢？
三角函數在圖形學中有哪些應用？
- 已知三角函數的值后，可以計算出角度：\(\arcsin\frac{1}{2} = 30^o\)
- 已知直角三角形的一邊和一個角度，可以計算另外一邊

主問題：什么是向量

用什么符號表示向量？

答：使用\(\overrightarrow{a}\)或者粗體a表示；
或者用起點和終點表示：\(\overrightarrow{AB} = B - A\)
向量有什么特性？
答：具有方向和長度；
沒有絕對的起點；
如何用代數表示向量？
答：

用什么符號表示向量的長度？
答：\(\Vert{\overrightarrow{a}}\Vert\)
什么是單位向量？
答：長度為1的向量
如何計算一個向量的單位向量（向量正交化）？
答：\(\widehat{a}=\frac{\overrightarrow{a}} {\Vert{\overrightarrow{a}}\Vert}\)
如何應用單位向量？
答：用來表示方向，如法線
如何計算向量的加法？
- 幾何上
  答：
- 代數上
  答：略
向量的點積的定義是什么？
答：

\[\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = {\Vert{\overrightarrow{a}}\Vert} {\Vert{\overrightarrow{b}}\Vert} cos\theta \]

對于兩個單位向量，點積是多少？
答：\(\widehat{a} \cdot \widehat{{b}} = cos\theta\)
點積滿足什么運算法則？
答：
如何進行點積的代數運算？
答：
點積在圖形學中有哪些應用？
- 計算兩個向量的夾角
  答：通過“兩個單位向量的點積”，得到\(cos\theta\)，然后就可以得到夾角。這可以應用于計算光源方向和表面法線的夾角
- 計算一個向量到另一個向量的投影
  答：
- 分解一個向量
  答：
- 決定向量的前/后關系
答：

如上圖所示，如果兩個向量都在一個半圓內，則它們屬于“前”關系(如\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\))；否則，則它們屬于“后”關系（如\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}\)）

如果兩個向量點積大于0，則\(cos\theta>0\)，所以\(\theta \in [0, \frac{\pi}{2})\)，它們屬于“前”關系；否則，它們屬于“后”關系
向量的叉積的定義是什么？
答：
叉積滿足什么運算法則？
答：
如何進行叉積的代數運算？
答：
叉積在圖形學中有哪些應用？
- 構建坐標系
  答：
  右手坐標系：
  
  如上圖所示，通過兩個正交的單位向量的叉積來構建坐標系第三維的向量
- 決定向量的左/右關系
  答：
  如上圖所示，假設\(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}\)在xy平面，如果\(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = +\overrightarrow{z}\)，則\(\overrightarrow{b}在\overrightarrow{a}\)的左側；否則在右側
- 判斷一個點是否在三角形內
  答：
  分別判斷上圖的AB和AP、BC和BP、CA和CP，如果它們叉乘的結果同號，則點在三角形內。