主要積累一些遇到的例子、題目。不定時更新。

運算

1. 有結合律的運算：普通/復數/矩陣/模意義下加法、乘法，映射復合，與或異或/集合相關，
   min/max。
2. 僅僅滿足部分群公理：\(\mathbb{N}^*, \mathbb{N}\)。\(\{0,1,2\}\) 上可構造有單位元、有逆元但無結合律的運算。
3. 域的性質僅僅不滿足分配律：\(\{0,1,2,3\}\) 上可構造。

域

1. 域的例子：\(\mathbb{Q,R,C}\) 配備普通加法、乘法；\(\mathbb{F}_p\) 配備模 \(p\) 意義下的加法、乘法。
2. \(\mathbb{F}_p\) 上的線性空間：\(V=(\mathbb{F}_p)^{n+1}\)。射影空間：\(\mathbf{P}(V)\)。有 \(\mid\mathbf{P}(V)\mid=\dfrac{p^{n+1}-1}{p-1}\)。Fano 平面：\(\mathbf{P}^2(\mathbb{F}_2)=\mathbf{P}((\mathbb{F}_2)^3)\)。
3. 尺規作圖的域。
4. 非交換的域（除環）：Hamilton 四元數除環。
5. 大小為 \(4\) 的域：可構造：

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	0	3	2
2	2	3	0	1
3	3	2	1	0

x	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	3	1
3	0	3	1	2

6. 線性空間例子：\(\mathbb{K}=\mathbb{R},V=\mathbb{R}_+,\alpha+_{_V}\beta=\alpha\beta,x\cdot\alpha=\alpha^x\)
7. 線性空間與線性子空間：多項式空間 \(\mathbb{P}\) 與 \(\mathbb{P}_3\)，\([0,1]\) 上所有實值函數的線性空間與所有其上連續函數的線性空間，無窮數列的空間與無穹收斂數列的空間。

群

1. \(\mathbb{Q,R,C,Z}\) 配備自然加法是交換群。
2. \((\mathbb{Z}\big/{n\mathbb{Z}},+)\) 是循環群，\(\bar{k}\) 是生成元當且僅當 \(\gcd(k,n)=1\)。
3. \(K\) 是域，\(G=\mathbf{GL}(n;K)\) 是 \(K\) 上 \(n\times n\) 可逆矩陣的集合。配備矩陣乘法，以單位矩陣為單位元，\(\mathbf{GL}(n;K)\) 是群（一般線性群）。
4. \(X\) 是集合，\(\mathfrak{S}(X)\) 是 \(X\) 到自身雙射的集合，是群。群中乘法為映射復合，單位元即單位映射，逆即逆映射。
5. 二面體群 \(\mathfrak{D}_n\)。\(\langle r\rangle(n\geq 3)\) 是正規子群，\(\langle s\rangle\) 不是正規子群。
6. \(\mathbb C^\times\) 是群（配備自然乘法）。\(\mathbb R^+<\mathbb R^\times<\mathbb C^\times\)（子群）。令 \(\mu^n(\mathbb C)\) 為 \(\mathbb C\) 中 \(n\) 次單位根的集合，則 \(\mu^n(\mathbb C)<C^\times\)。
7. 可逆的 \(n\) 階上三角矩陣的集合 \(T\) 是 \(\mathbf{GL}(n;K)\) 的子群。對角線上均為 \(1\) 的集合 \(T_1<T<\mathbf{GL}(n;k)\)。
8. 非負整數配備異或的群：每個元素階都有限（\(\leq 2\)），但不是有限群。（同構于 \(\oplus_{i=1}^{+\infty}\mathbb F_2\) 配備模 \(2\) 加法）
9. 群 \(G\) 的中心 \(Z(G)\) 是群。
10. 正四面體群 \(C_4\)。
11. 正二十面體群 \(C_{20}\)。
12. 假設 \(G_1\) 和 \(G_2\) 都為 \(\mathbb C^\times\)，對任意的 \(\lambda\in\mathbb C^\times\)，映射 \(z\mapsto\lambda\cdot z\) 均為 \(G_1\) 到 \(G_2\) 的群同構。
13. 自同構群 \(\mathbf{Aut}(G)<\mathfrak{S}_G\)。
14. 給定群同態 \(\varphi\in\operatorname{Hom}(G_1,G_2)\)，則 \(\operatorname{Im}(\varphi)<G_2\)，\(\operatorname{Ker}(\varphi)\lhd G_1\)。
15. \(K\) 是域，\(n\geq 1\) 行列式映射$$\det:\mathbf{GL}(n;K)\rightarrow K^\times$$是群同態。令 \(\mathbf{SL}(n;K)=\operatorname{Ker}(\det)\)，這是行列式為 \(1\) 的 \(n\times n\) 的矩陣構成的群，被稱為 \(K\) 上的特殊線性群。
16. 指數映射 \(\exp:\mathbb C\rightarrow\mathbb C^\times\) 是群同態，\(\operatorname{Ker}(\exp)=2\pi i\mathbb Z\)。
17. 對數映射 \(\log:\mathbb R^\times\rightarrow\mathbb R\) 是群同態，\(\operatorname{Ker}(\log)=\{1\}\)。
18. \(\mod n\) 映射。群同態 \(\varphi:\mathbb Z\rightarrow\mathbb Z\big/{n\mathbb Z},\ k\mapsto\bar k\)。它的核 \(\operatorname{Ker}(\varphi)=n\mathbb Z\)。
19. \(G\) 是群，\(g\in G\)，則映射 $$\varphi_g:\mathbb Z\rightarrow G,\ n\mapsto g^n$$ 是群同態，其像 \(\operatorname{Im}(\varphi_g)=\langle g\rangle\)。
20. \(G\) 是群，對任意 \(g\in G\)，定義共軛映射 $$\operatorname{Int}(g):G\rightarrow G,\ h\mapsto\operatorname{Int}(g)(h)=ghg^{-1}$$ 有 \(\operatorname{Int}(G):=\operatorname{Im}(\operatorname{Int})<\operatorname{Aut}(G)\)。
    定義映射 \(\operatorname{Int}:G\rightarrow\operatorname{Aut}(G),\ g\mapsto\operatorname{Int}(g)\)，則 \(\operatorname{Int}\) 是群同態，\(\operatorname{Ker}(\operatorname{Int})=Z(G)\)。
21. 若 \(A\in \mathbf{GL}(n;K)\) 固定，則映射 \(\varphi:\mathbf{GL}(n;K)\rightarrow\mathbf{GL}(n;K),\ g\mapsto AgA^{-1}\) 是群同構。
22. \((\mathbb Z,+)\) 的所有子群：若 \(H<Z\)，則 \(H=n_0\mathbb Z, n_0\in\mathbb N\)。
23. 由 Lagrange 定理可證 Fermat 小定理。
24. 交換群的子群都是正規子群。
25. 若 \(H\lhd G\)，則 \(\pi:G\rightarrow G\big/H,\ g\mapsto gH\) 是群同態，\(\operatorname{Ker}(\pi)=H\)。
26. 群的乘積是群，且滿足泛性質。
27. 有限域的乘法子群是循環群。
28. \((\mathbb{Z}\big/{n\mathbb{Z}})^\times\) 是循環群當且僅當 \(n=1,2,4,p^m,2p^m\)。其中 \(p\) 為奇素數，\(m/geq 0\)。