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生成函數 1. 牛頓二項式定理 1.1 定義 首先對 \(\binom n m\) 的定義進行擴展： 設 \(n\) 是實數，\(m\) 是整數。則： \[\binom{n}{m}= \begin{cases} \dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-m+1)}{m!} &(m\geq 閱讀全文
posted @ 2025-08-09 15:59
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算法模板 數據結構 FHQ-Treap int Q; mt19937 seed(time(0)); uniform_int_distribution<int> rnd(0,2e9); struct FHQTreap{ int lc,rc; int key,num; int siz; }tr[N]; 閱讀全文
posted @ 2025-06-21 19:49
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容斥原理+錯排問題 1. 一般形式 設全集 \(S\) 中的元素共有 \(n\) 種性質，每一個元素可以有多種性質。 我們把具有第 \(i\) 種性質的元素全部放到集合 \(A_i\) 中，生成 \(A_1,A_2,A_3,\cdots,A_n\)。它們都是 \(S\) 的子集。 如果我們要對 至少 閱讀全文
posted @ 2025-03-30 13:05
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線性代數 1. 基本概念 設向量組 \(S=\{\vec{a_1},\vec{a_2},\vec{a_3},...,\vec{a_n}\}\)。 若向量 \(\vec\) 存在一組 \(c_i\) 滿足 \(\vec=\sum_{i=1}^n c_i{\vec{a_i}}\)，則稱 \( 閱讀全文
posted @ 2025-01-09 15:19
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組合數學-二項式系數 1. 帕斯卡公式 \[\binom{n}{m}=\binom{n-1}{m}+\binom{n-1}{m-1} \]分兩種情況： 在前 \(n-1\) 個中已經選出 \(m\) 個； 在前 \(n-1\) 個中選出 \(m-1\) 個，加上剛剛選的第 \(m\) 個。 可用于 閱讀全文
posted @ 2024-10-29 16:57
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同余 1. 模運算基本性質 基本概念 若整數 \(a,b\) 除以 \(p\) 的余數相等，則稱 \(a,b\) 在模 \(p\) 意義下同余，記作 \(a \equiv b \pmod{p}\) 或者 \(a \bmod p=b \bmod p\)。 性質 \((a+b) \bmod p =(a 閱讀全文
posted @ 2024-07-06 18:03
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1.調和級數 \[\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}=O(\log n) \] Proof（粗略計算）： \[\begin{aligned}\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}&= \sum_{i=0}^{\log n} \sum_{j=2^i}^{2^{i+1}-1}\f 閱讀全文
posted @ 2024-06-18 21:49
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P9596 [JOI Open 2018] 冒泡排序 2 做題記錄 P9596 [JOI Open 2018] 冒泡排序 2 / Bubble Sort 2 - 洛谷 (luogu.com.cn) Solution 1 結論：設 \(v_i=\sum_{j\le i} [a_j>a_i]\)，序列 閱讀全文
posted @ 2025-11-06 20:15
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20251105 NOIP 模擬賽 Problem A. Graph Description 構造一張競賽圖 \(G\)，進行 \(m\) 次翻轉邊的操作，要使得 \(G\) 任意時刻不強聯通。 \(6\le n\le 400\)。 Sub1：\(m\le n-2\)，Sub2：\(m\le \lc 閱讀全文
posted @ 2025-11-05 15:52
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特殊的背包問題 設 \(n\) 為物品個數，\(m\) 為背包容量，\(k\) 為所有物品中重量最大值。 1. 最優化問題 當 \(m\) 較大時可以應用下面的解法。先貪心，然后扔掉一些，再補上一些。 1.1 完全背包 1 先找出性價比最高的物品，一直填這個物品，直到將要溢出。設這個物品的重量為 \ 閱讀全文
posted @ 2025-10-26 18:48
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P9356 「SiR-1」Bracket 做題記錄 P9356 「SiR-1」Bracket - 洛谷 (luogu.com.cn) 將 \(\texttt{(}\) 看為 \(1\)，將 \()\) 看為 \(-1\)，整個括號序列看做一個折線圖。 首先將末尾補到 \(0\)，若 \(s_n<0\ 閱讀全文
posted @ 2025-10-24 09:08
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構造專題 #2 Problem A. UOJ460 新年的拯救計劃 顯然有上界 \(m=\lfloor\frac n 2 \rfloor\)。 增量構造，每次讓 \(n\) 增加 \(2\)。若 \(n\) 為奇數則每棵樹隨便向 \(n\) 連一條邊即可。 首先令第 \(i\) 個原樹的 \(2i- 閱讀全文
posted @ 2025-10-15 08:45
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20251009 NOIP模擬賽 比賽詳情 - 33OJ (33dai.cn) Problem A. 棒棒糖 \(x\) 向 \(2x+2\) 連邊，形成若干條鏈。每一條鏈的貢獻即為 \(\lceil \frac{len}{2}\rceil\)。 可以考慮先加上所有在鏈上排名 \(\ge 1\) 的 閱讀全文
posted @ 2025-10-10 16:38
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線性代數專題 Problem A. CF963E Circles of Waiting 列出轉移柿子，\(f_{i,j}=p1f_{i-1,j}+p2f_{i,j-1}+p3f_{i+1,j}+p4f_{i,j+1}+1\)。 直接消元是 \(O(R^6)\) 的?？紤]優化，將式子變形，\(f_{i 閱讀全文
posted @ 2025-10-01 10:38
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威佐夫博弈（Wythoff‘s Game） 1. Beatty 定理 設 無理數 \(r\) 對應的 Beatty 數列 \(B_r\) 為 \((B_r)_i=\lfloor i\times r\rfloor\)。 定理：若無理數 \(r,s\) 滿足 \(\frac 1 r+\frac 1 s= 閱讀全文
posted @ 2025-09-30 21:35
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