課程內容筆記，自用，不涉及任何 assignment，exam 答案
Notes for self-use, do not include any assignments or exams

說實話，我們都沒學信號，控制那些，我有點沒搞懂學拉普拉斯變換的意義,,
仔細一想，感覺學校工科的數學課程的設置真的有點亂，看不出體系，可能應用層面的意義比較大

Physical Motivation

使用拉普拉斯變換，能將一個波形由 時域 (time and space domain) 轉換到 頻域 (frequency domain)
(可以簡單理解為，自變量由時間變成了頻率)

Mathematical Motivation

求某 自變量 (dependent variable) 與 輔助函數 (auxiliary function, 即 kernal of integral transform) 的定積分
通常來說，該 核 (kernal) 有一個自由參數，我們需要研究參數的改變將如何影響定積分的結果

常用的 Kernal (核)

• 衰減指數函數 (decaying exponential function): 在拉普拉斯變換中作為核
• Oscillatory / sinusoidal 函數: 在傅里葉變換中作為核

Laplace Transform Denotation

\(L(f(t))=F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt\)
\(t\): 時間 time
\(L\): 指 Laplace Transform
\(F\): 經過變換后得到的函數
\(s\): transform parameter
Kernal: \(e^{-st}\)，以 \(s\) 作為參數的的衰減指數函數

若 \(f(t)\) 在乘上核 \(e^{-st}\) 后都無法減緩其增長，那么 \(f(t)\) 的 Laplace transform 不存在

Inverse Laplace Transform

\(L^{-1}(F(s))=f(t)\)
對 \(F(s)\) 應用拉普拉斯逆變換可以 recover \(f(t)\)

基本函數的 Laplace Transform

• \(L(1)\)
  \(L(1)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st}|^{\infty}_0=\frac{1}{s}\)

• \(L(t)\)
  \(L(t)=\int_{0}^{\infty} te^{-st}dt=\frac{1}{s^2}\) (直接 integration by part)

• \(L(t^n)\)
  \(L(t^n)=\frac{n}{s}(L(t^{n-1}))\)
  根據該遞歸公式 \(L(t^n)=\frac{n!}{s^{n+1}}\)

• \(L(e^{at})\)
  \(L(e^{at})=\int_{0}^{\infty} e^{at}e^{-st}dt=\frac{1}{a-s}e^{(a-s)t}|^{\infty}_0=1/(s-a)\)
  ( 注意，\(t\in \infty\) 時 \(e^{(a-s)t} \to 0\)，這是因為 \(e^{-st}\) 是一個衰減指數函數 )

• \(L(\cos at)\) 與 \(L(\sin at)\)
  \(L(\cos at)=\int_{0}^{\infty}\cos (at) e^{-st}dt=\frac{s}{s^2+a^2}\)
  \(L(\sin at)=\int_{0}^{\infty}\sin (at) e^{-st}dt=\frac{a}{s^2+a^2}\)

關于三角函數的 Laplace transform 有一個很妙的證明方式
那就是利用 歐拉公式 \(e^{it}=\cos t+i\sin t\)
\(L(\cos at+i\sin at)=L(e^{iat})=1/(s-ai)=(s+ai)/(s+ai)(s-ai)=\frac{s+ai}{s^2+a^2}=\frac{s}{s^2+a^2}+\frac{a}{s^2+a^2}i\)
結果的實數部分對應 \(L(\cos at)=\frac{s}{s^2+a^2}\)，虛數部分對應 \(L(\sin at)=\frac{a}{s^2+a^2}\)

Basic properties of Laplace transform

• Linearity (線性)
  \(L(af+bg)=aL(f)+bL(g)\) (直接繼承自 integration 性質)

• The first shift property (重要！)
  \(L(e^{at}f(t))=F(s-a)\)
  證明: \(L(e^{at}f(t))=\int_0^{\infty} f(t)e^{-(s-a)t}dt\) (對比標準形式 \(f(t)e^{-st}\), 參數由 \(s\) 變為 \(s-a\))

• The second shift property
  \(L(f(t-a)S(t-a))=e^{-as}L(f(t))\)
  這里的函數 \(S\) 是 Heavside step function，\(x>0\) 時 \(S(x)=1\)，\(x<0\) 時 \(S(x)=0\)
  用圖像來解釋很好理解:
  

• The differentiation property
  \(L(t^n f(t))=(-1)^n F^{(n)}(s) \ \ (n\neq -1)\)
  ( \(F^{(n)}(s)\) 即為 \(F(s)\) 的 \(n\) 次導，\(F^{(n)}(s)=\frac{d^n}{ds^n}F(s)\) )
  

• The integration property
  \(L(t^{-1}f(t))=\int_s^{\infty} F(u)du\)
  對于 \(L(t^nf(t))\)，若 \(t=-1\) 則對應 integration property; 反之對應 differentiation property

• Convoltion property
  很熟悉的卷積 (convoltion) 性質！
  \(L(f*g)=F(s)G(s)\)
  卷積的拉普拉斯變換 \(L(f*g)\) 等于該兩函數的拉普拉斯變換之積 \(L(f)\cdot L(g)=F(s)G(s)\)

  \(f, g\) 卷積的定義: \(f*g=\int_{0}^{x} f(\xi)g(x-\xi) d\xi\)
  \(*\) 是 communicative operator: \(f*g=g*f\)
  下面是幾個卷積的例子：
  \(1*1=\int_{0}^x 1 d\xi=x\)
  \(x*x=\int_0^x \xi (x-\xi)d\xi=\int_0^x x\xi d\xi-\int_0^x \xi^2 d\xi=\frac{x^3}{6}\)

• Laplace Transform of Derivatives
  導數 \(f'\) 的拉普拉斯變換: 按照定義展開 + 分部積分法即可
  \(L(f'(t))=\int_0^{\infty} f'(t)e^{-st}dt=\int_0^{\infty} e^{-st}df(t)\)
  接下來 Integrate by parts
  \(\int_0^{\infty} e^{-st}df(t)=e^{st}f(t)|_0^{\infty}-\int_0^{\infty} f(t)de^{-st}\) (注意，在積分內部，\(s\) 被視為常數)
  整理后得 \(sL(f(t))-f(0)\) 即 \(sF(s)-f(0)\)

  二階導，三階導套用上面公式即可
  \(L(f''(t))=sL(f'(t))-f'(0)=s(sL(f(t))-f(0))-f'(0)=s^2G(s)-sf(0)-f''(0)\)
  \(L(f'''(t))=s^3G(s)-s^2f(0)-sf'(0)-f''(0)\)

Applying Laplace Transform to solve ODE

這是這節課 MATH1851 學習 Laplace transform 的主要原因: 作為一個有效的工具對 ODE 進行求解
應用 Laplace transform 求解 ODE 大致分為三步

1. 對 ODE 的 LHS 與 RHS 分別應用 Laplace transform
2. 此時 ODE 將會轉變為關于 \(Y\) (即 \(y(t)\) 的 Laplace transform \(Y(s)\) ) 的純代數式 algebraic equation
   我們將其化成 \(Y=...\) 的形式
3. 再對該式應用 inverse Laplace transform，即可求解 \(y=...\)

在該過程中，主要運用到 Laplace transform of derivative，還會牽涉到 partial functions (處理關于 \(Y\) 的 algebraic equation 以方便逆變換)
使用 Laplace transform 來解 ODE 的優勢在于其 普適性 (ODE 的種類，是否有 resonance 均無需考慮)

Partial fractions

在對 ODE 應用 Laplace transform 后，為了進行逆變換，我們需要對得到的 algebraic functions 進行分解，即 partial function 過程
具體分為三類：

• distinct roots
  對于形如 \(\frac{\mathtt{fn.} \ of \ s}{(s+a)(s+b)}\) 的項
  我們將其進行拆分 \(=\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}\): 逆變換時參考公式 \(L(e^{-at})=\frac{1}{s+a}\)
• repeated roots
  對于形如 \(\frac{\mathtt{fn.} \ of \ s}{(s+a)^n}\) 的項
  \(=\frac{A}{(s+a)^n}+\frac{B}{(s+a)^{n-1}}+...+\frac{N}{s+a}\): 逆變換時參考公式 \(L(t^ne^{-at})=\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}\)
• cos/sin 形式
  對于形如 \(\frac{\mathtt{fn.} \ of \ s}{(s+a)^2+b^2}\) 的項
  \(=A\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}+B\frac{b}{(s+a)^2+b^2}\): 逆變換時參考公式 \(L(e^{-at}\sin bt)=\frac{b}{b^2+(s+a)^2}\), \(L(e^{-at}\cos bt)=\frac{s+a}{b^2+(s+a)^2}\)

對于其他形式，有 partial fraction 的 general form，這里不多介紹，估計考試也不會涉及

Tutorial question

在這里將會貼出一些 tutorial 上講的例題。Marian 老師講的好，人也超好！

Tutotial 6: 關于 Laplace transform of derivative，Partial funcion 和 Solve ODE using Laplace transform

Tutorial 7: 關于 Convoltion 與 Second Shift

Convoltion:

Second shift: