符號(hào)規(guī)定

連續(xù)信號(hào)的采樣

對(duì)于一個(gè)連續(xù)信號(hào)\(x_{c}(t)\)，其經(jīng)過(guò)沖擊采樣之后獲得之后變成一個(gè)沖擊串函數(shù)\(x_{s}(t)\)，即：

顯然，對(duì)于\(x_{s}(t)\)任然是一個(gè)連續(xù)信號(hào)，我們需要經(jīng)過(guò)量化之后獲得我們所需要的離散信號(hào)\(x[n]\)，有\(x[n] = x_{c}{nT}\)
流程如圖：

頻域分析

對(duì)\(x_{s}(t)\)進(jìn)行連續(xù)傅里葉變換有：

其中

所以有：

顯然，采樣后的頻域是對(duì)原本連續(xù)信號(hào)頻域的周期延拓，這里面要求有：

這里\(\Omega_{N}\)稱(chēng)之為奈奎斯特頻率，\(2\Omega_{N}\)稱(chēng)之為奈奎斯特率

在對(duì)\(x[n]\)進(jìn)行DTFT，有：

對(duì)比上述式子，有：

所以上面沖擊串函數(shù)的在數(shù)字頻域上可以表示：

即對(duì)采樣之后在數(shù)字角頻域進(jìn)行了歸一化

例1

假設(shè)\(T=1/600\)，模擬連續(xù)信號(hào)\(x_{c}(t) = cos400\pi t\)

可以計(jì)算出：\(\Omega_{s}=1200\pi, \Omega_{N} = 800\pi\)
由時(shí)域采樣定理知：可以用一組離散信號(hào)表示原連續(xù)信號(hào)
此時(shí)\(X_{s}(j\Omega)\)圖像如下：

在進(jìn)行歸一化有：

連續(xù)信號(hào)的復(fù)原

對(duì)于數(shù)字序列\(x[n]\)，我們可以構(gòu)造一個(gè)連續(xù)的沖擊串函數(shù)\(x_{s}{t}\)，有：

對(duì)于這個(gè)函數(shù)，我們已知其在頻域上等于原連續(xù)信號(hào)的周期延拓，所以我們希望使用一個(gè)低通濾波器對(duì)其進(jìn)行濾波再添加一個(gè)T倍的增益，該門(mén)函數(shù)的截止頻率一般取\(\Omega_N\)的一般。

對(duì)于截止頻率為\(\Omega_{H}\)，頻率增益為A的門(mén)函數(shù)，其時(shí)域形式為：

所以有：

所以在頻域上將\(X_{s}(j\Omega)與H(j\Omega)\)相乘，在時(shí)域上表現(xiàn)為卷積，有：

則可以抽象成一個(gè)D/C轉(zhuǎn)換器

完整的步驟

時(shí)域連續(xù)信號(hào)在進(jìn)過(guò)采樣之后變成數(shù)字序列，而DSP處理的對(duì)象即為數(shù)字序列，經(jīng)過(guò)輸入到系統(tǒng)中后輸入一個(gè)響應(yīng)，將輸出響應(yīng)再進(jìn)行復(fù)原成時(shí)域連續(xù)信號(hào)。

后面我們將圍繞中間系統(tǒng)部分詳細(xì)展開(kāi)。